第10期 沈政伟等：基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 ·1221· 这里，0∈0,2π]，ak是不为±1的实数 则由公式(5)，可得 证明：首先，很容易验证所有的结构单元都是仿 H()= 酉矩阵，从而可以保证多相位矩阵也是仿酉的.因 20 此，由引理1可知，相应的小波滤波器也是正交的. (s0+5121+s222+5123+5024). (9) 其次，仿照文献⑦]中的方法，作为M=3这种特殊 所以，只需要求未知量o$1和s2就可以求出相应 情况，定理得证 的H。(z). 联立求和法则公式(2)和(4)，得非线性方程组 2三带小波系统构造 250+2s1+s2=3, 构造具有正交性、对称/反对称性及较高消失矩 2(6+(2s0+31)2+(350+2s,+52)2+ 的三带小波系统包括两方面的工作：即先求尺度滤 (2s0+4s1+2s2)2)+(2s0+4s,+3s2)2=243, 波器，然后再基于格结构求小波滤波器.为了保证 5(2s。+4s1+2s2)+(250+s1)(2s。+4s1+3s2)+ 三带小波滤波器组的紧支性以及实用性，只对长度 (3s0+2s1+s2)(2s0+4s1+2s2)=0, N=9与N=15的滤波器进行构造. 2.1尺度滤波器构造 25(350+251+52)+(2s0+51)2=0. 作为三带小波尺度滤波器H。(z)的基本条件， (10) 必须满足求和法则(2)：正交性必须满足式(4)，尽 解方程组(10)，得到s0=-2,51=6,2=-5或s= 管式(4)只是一个必要条件，但是只要对应的尺度 -了一子=5两组解相应的尺度滤波器冲 函数是收敛的，那么就是充分必要的；由定理1以及 击响应h,()为 引理4，H。(z)的对称性也可以由Q(z)的对称性来 确定，而在式(5)中设定了相应的消失矩m以及 因={-号号g9多吕g号} Q()的阶之后，H。(z)的阶次也可以设定.由此，可 以及 以得到一个非线性方程组.下面就以长度N=9的 h(k)= 情况进行讨论. 由引理4，长度为N=9的三带小波的尺度滤波 {7易品器器景”} 器最高消失矩只能为m=2,Q(z)的阶n=4.由对 由二尺度方程(2)，分别得到它们对应的尺度 称性，假设Q(z)=30+s1z1+s2z2+s1z3+s0z4, 函数图像，如图1所示 20 16 14 (b) 10 6 4 3 2 00.51.01.52.02.53.03.54.0 -400.51.01.52.02.53.0354.0 位置 位置 图1N=9时三带小波尺度滤波器对应的尺度函数图像.(a)第一组滤波器：(b)第二组滤波器 Fig.I Scaling function images of the three-band wavelet scaling filter when N=9:(a)the first filter,(b)the second filter 由第一组解得到的图1(a)显然不收敛，所以只 N=15和m=4时对应的尺度函数图像.从图中容 取第二组解.用同样的方法，可以得到N=15,消失 易看出消失矩为m=4的尺度滤波器图像的光滑性 矩分别为m=3与m=4时的尺度滤波器冲击响应， 明显好于消失矩m=3的情况 如表1所示.需要说明的是由于对称性/反对称性， 2.2小波滤波器的构造 表1只给出一半结果 在2.1节中求出尺度滤波器之后，就得到多相 表1中数据对应的图像见图2，其中图2(a)为 位矩阵中的第一行，利用定理2，对相应的多相位矩 N=15和m=3时对应的尺度函数图像，图2(b)为 阵进行格结构分解，就可以求出相应的小波滤波器.第 10 期 沈政伟等: 基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 这里，θk∈［0，2π］，ak 是不为 ± 1 的实数． 证明: 首先，很容易验证所有的结构单元都是仿 酉矩阵，从而可以保证多相位矩阵也是仿酉的． 因 此，由引理 1 可知，相应的小波滤波器也是正交的． 其次，仿照文献［7］中的方法，作为 M = 3 这种特殊 情况，定理得证． 2 三带小波系统构造 构造具有正交性、对称/反对称性及较高消失矩 的三带小波系统包括两方面的工作: 即先求尺度滤 波器，然后再基于格结构求小波滤波器． 为了保证 三带小波滤波器组的紧支性以及实用性，只对长度 N = 9 与 N = 15 的滤波器进行构造． 2. 1 尺度滤波器构造 作为三带小波尺度滤波器 H0 ( z) 的基本条件， 必须满足求和法则( 2) ; 正交性必须满足式( 4) ，尽 管式( 4) 只是一个必要条件，但是只要对应的尺度 函数是收敛的，那么就是充分必要的; 由定理 1 以及 引理 4，H0 ( z) 的对称性也可以由 Q( z) 的对称性来 确定，而在式( 5) 中设定了相应的消失矩 m 以及 Q( z) 的阶之后，H0 ( z) 的阶次也可以设定． 由此，可 以得到一个非线性方程组． 下面就以长度 N = 9 的 情况进行讨论． 由引理 4，长度为 N = 9 的三带小波的尺度滤波 器最高消失矩只能为 m = 2，Q( z) 的阶 n = 4． 由对 称性，假设 Q( z) = s0 + s1 z － 1 + s2 z － 2 + s1 z － 3 + s0 z － 4 ， 则由公式( 5) ，可得 H0 ( z) = ∑ 8 k = 0 h0 ( k) z － k = ( 1 + z － 1 + z － 2 ) 3 2 · ( s0 + s1 z － 1 + s2 z － 2 + s1 z － 3 + s0 z － 4 ) ． ( 9) 所以，只需要求未知量 s0、s1 和 s2 就可以求出相应 的 H0 ( z) ． 联立求和法则公式( 2) 和( 4) ，得非线性方程组 2s0 + 2s1 + s2 = 3， 2( s 2 0 + ( 2s0 + s1 ) 2 + ( 3s0 + 2s1 + s2 ) 2 + ( 2s0 + 4s1 + 2s2 ) 2 ) + ( 2s0 + 4s1 + 3s2 ) 2 = 243， s0 ( 2s0 + 4s1 + 2s2 ) + ( 2s0 + s1 ) ( 2s0 + 4s1 + 3s2 ) + ( 3s0 + 2s1 + s2 ) ( 2s0 + 4s1 + 2s2 ) = 0， 2s0 ( 3s0 + 2s1 + s2 ) + ( 2s0 + s1 ) 2 = 0          ． ( 10) 解方程组( 10) ，得到 s0 = － 2，s1 = 6，s2 = － 5 或 s0 = － 1 3 ，s1 = － 2 3 ，s2 = 5 两组解． 相应的尺度滤波器冲 击响应 h0 ( k) 为 h0 ( k) = { － 2 9 ，2 9 ，1 9 ， 10 9 ，5 9 ， 10 9 ，1 9 ，2 9 ，－ } 2 9 ， 以及 h0 ( k) { = － 1 27 ，－ 4 27 ，8 27 ， 20 27 ， 35 27 ， 20 27 ，8 27 ，－ 4 27 ，－ 1 } 27 ． 由二尺度方程( 2) ，分别得到它们对应的尺度 函数图像，如图 1 所示． 图 1 N = 9 时三带小波尺度滤波器对应的尺度函数图像． ( a) 第一组滤波器; ( b) 第二组滤波器 Fig． 1 Scaling function images of the three-band wavelet scaling filter when N = 9: ( a) the first filter，( b) the second filter 由第一组解得到的图 1( a) 显然不收敛，所以只 取第二组解． 用同样的方法，可以得到 N = 15，消失 矩分别为 m = 3 与 m = 4 时的尺度滤波器冲击响应， 如表 1 所示． 需要说明的是由于对称性/反对称性， 表 1 只给出一半结果． 表 1 中数据对应的图像见图 2，其中图 2( a) 为 N = 15 和 m = 3 时对应的尺度函数图像，图 2( b) 为 N = 15 和 m = 4 时对应的尺度函数图像． 从图中容 易看出消失矩为 m = 4 的尺度滤波器图像的光滑性 明显好于消失矩 m = 3 的情况． 2. 2 小波滤波器的构造 在 2. 1 节中求出尺度滤波器之后，就得到多相 位矩阵中的第一行，利用定理 2，对相应的多相位矩 阵进行格结构分解，就可以求出相应的小波滤波器． ·1221·