9.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，a1=(-1,1,-1)T,2=(0,-1,1)T是方程组4r=0的两 个解 ()求A的所有特征值和特征向量：（②）求正交矩阵Q和对角阵A,使得QAQ=A 10.设4为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A ()求A的所有特征值和特征向量（②）求矩阵A 11.求正交变换化二次型z子+号+写-4红12-423-4红1为标准形. 12.二次型f1,工2，x写)=5+5z号+c一-2红1x2-6z23+6r1的秩为2，求c及此二次型的规范形，并 写出相应的坐标变换。 四，证明 1.己知A,B均是3阶非零矩阵，且A2=A,B2=B,AB=BA=0,证明0和1必是A与B的特征值，并 且若a是A关于入=1的特征值，则a必是B关于入=0的特征向量. 2.已知入1，A2,X3是A的特征值，a1,a2,a3是相应的特征向量且线性无关，若1+a2+ag仍是A的特征 向量，则A1=2=g 3.设o是阶矩阵A的特征值，其重数为k,证明：A的属于o的线性无关的特征向量的个数不大于k 4.若A是n阶正定矩阵，证明A~1,A也是正定矩阵。 5.设A是m×n矩阵，r(A)=n,证明ATA是正定矩阵 6.设A是n×n正定矩阵，证明A+2E>2”9. 3¢È°› Aà1ÉÉ⁄è3, α1 = (−1, 1, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T¥êß|Ax = 0¸ á). (1) ¶A§kAä⁄Aï˛; (2) ¶› Q⁄È Λ, ¶QT AQ = Λ. 10. Aè3¢È°› ,Aùè2,ÖA   1 1 0 0 −1 1   =   −1 1 0 0 1 1  . (1) ¶A§kAä⁄Aï˛; (2) ¶› A. 11. ¶CÜzg.x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 4x2x3 − 4x1x3èIO/. 12.g.f(x1, x2, x3) = 5x 2 1 + 5x 2 2 + cx2 3 − 2x1x2 − 6x2x3 + 6x1x3ùè2,¶c9dg.5â/,ø —ÉAãICÜ. o, y² 1. ÆA, B ˛¥3ö"› ,ÖA2 = A, B2 = B, AB = BA = 0,y²0⁄17¥A ÜB Aä,ø Öeα ¥A'uλ = 1 Aä,Kα 7¥B'uλ = 0 Aï˛. 2. Æλ1, λ2, λ3 ¥AAä,α1, α2, α3¥ÉAAï˛ÖÇ5Ã',eα1 + α2 + α3 E¥AA ï˛, Kλ1 = λ2 = λ3. 3. λ0¥n› AAä,Ÿ­Íèk, y²:A·uλ0Ç5Ã'Aï˛áÍÿåuk. 4. eA ¥n½› ,y²A−1 , A∗襽› . 5.A¥m × n› ,r(A) = n,y²AT A¥½› . 6. A¥n × n½› ,y²|A + 2E| > 2 n. 17