12.二次型f(x1,x2,xr)=(a1x1+a22+a33)2的矩阵是(）. 13.二次型f(c1,2,)=(号+2红1x3)的负惯性指数g=(), 15.已知二次型f1,2,)= 16.设三元二次型子十x号+5z号+2tr1x2-2r1x3+4红2x3是正定二次型，则t=() 111 17.已知A= 111,矩阵B=A+kE正定，则k的取值为() 111 三，计算题 3-2-4 1.求A= -26-2 的特征值与特征向量。 -4-23 答案：A的特征值是入 =-2,对应于7的特征向量是(-1,2,0)T+2(-1,0.1),对应 于-2的特征向量是32,1,2T其中(，2)≠0,0)，≠0 3.己已知A= 有特征值士1，问A能否对角化？说明理由 -11-1 答案：a=-1,b=-3,A有3个不同的特征值故4可以对角化 2 -12 4.己知a=(1,1,-1)是A 5a3 的一个特征值 -1b-2 (1)求a,的值：(2)判断A能否相似对角化，并说明理由. -1c 5设矩阵A= 5b3 ,行列式4=-1，又A有一个特征值0，属于o的一个特征向量 1=c0-a 为a=(-1,-1,1)T,求a,b,c及o的值. 答案：X0=1,a=c=2,b=-3. 6已知4a4=i04,6=1,2,3),其中a1=(1,22)7,a2=(2,-2,1)T,a4=(-2,-1,2)T,求矩阵A. 答案：A 7设矩阵A -4 相似，求，，并求一个正交矩阵P使得P-1AP B. 8.设A是3阶实对称矩阵，A的特征值是6，-6,0，其中入=6与入=0的特征向量分别是(L,a,1)T及(a,a+ 1,1)T,求矩阵A 1-41 答案：A 16 12. g.f(x1, x2, x3) = (a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 › ¥( ). 13.g.f(x1, x2, x3) = (x 2 2 + 2x1x3)K.5çÍq = ( ). 14.eg.2x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + 2tx2x3 ùè2,Kt = ( ). 15.Æg.f(x1, x2, x3) = x 2 1+x 2 2+cx2 3+2ax1x2+2x1x3²CÜzèIO/y 2 1 +2y 2 3 ,Ka = ( ). 16. ng.x 2 1 + x 2 2 + 5x 2 3 + 2tx1x2 − 2x1x3 + 4x2x3¥½g., Kt = ( ) 17.ÆA =     1 1 1 1 1 1 1 1 1     , › B = A + kE½,Kkäè( ). n, OéK 1. ¶A =   3 −2 −4 −2 6 −2 −4 −2 3   AäÜAï˛. âY: A Aä¥λ1 = λ2 = 7, λ3 = −2,ÈAu7Aï˛¥k1(−1, 2, 0)T + k2(−1, 0, 1)T ,ÈA u−2Aï˛¥k3(2, 1, 2)T ,Ÿ•(k1, k2) 6= (0, 0), k3 6= 0. 3. ÆA =   2 a 2 5 b 3 −1 1 −1   kAä±1, ØAUƒÈz? `²nd. âY: a = −1, b = −3, Ak3áÿ”Aä,Aå±Èz. 4. Æα = (1, 1, −1)T ¥A =   2 −1 2 5 a 3 −1 b −2   òáAä. (1) ¶a, bä; (2)‰AUƒÉqÈz,ø`²nd. 5 › A =   a −1 c 5 b 3 1 − c 0 −a  , 1™|A| = −1, qA∗kòáAäλ0, ·uλ0òáAï˛ èα = (−1, −1, 1)T ,¶a, b, c9λ0ä. âY: λ0 = 1 ,a = c = 2, b = −3. 6 ÆAαi = iαi ,(i = 1, 2, 3),Ÿ•α1 = (1, 2, 2)T , α2 = (2, −2, 1)T , α3 = (−2, −1, 2)T ,¶› A. âY: A =   7 3 0 − 2 3 0 5 3 − 2 3 − 2 3 − 2 3 2  . 7 › A =   1 −2 −4 −2 x −2 −4 −2 1   ÜB =   5 −4 y   Éq,¶x, y,ø¶òá› P¶P −1AP = B. 8. A¥3¢È°› ,AAä¥6, −6, 0 ,Ÿ•λ = 6Üλ = 0 Aï˛©O¥(1, a, 1)T 9(a, a+ 1, 1)T ,¶› A. âY: A =   1 −4 1 −4 −2 −4 1 −4 1  . 16