高等数学教案 第一章函数与极限 则函数x)在点为不连续，而点x称为函数x)的不连续点或间断点。 例1.正切函数=tanx在x=-子处没有定义，所以点x=无是函数anx的间断点. 2 因为1 imtanx=的，故称x=受为函数anx的无穷间断点。 例2.函数y=sin上在点x-0没有定义，所以点x-0是函数sin上的间断点。 当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，所以点=0称为函数si山工的振荡间断点. 例3.函数y=2二在=1没有定义，所以点=1是函数的间断点。 x-1 因为im2-一 =lim(x+)=2,如果补充定义：令x=1时=2，则所给函数在x=1成为连续.所 x1x-1 以x=1称为该函数的可去间断点. x≠1 例4.设函数y=f) x=1 因为四f)=r=l,f0=方，)f0,所以x1是函数)的间断点. 如果改变函数x)在x=1处的定义：令1)=1，则函数)在x=1成为连续所以=1也称为该 函数的可去间断点。 [x-1 x<0 例5.设函数f(x) 0 x=0 x+1x>0 因为Iimf)=imx-)=-l, mf6)=imx+)=1, limf(x)≠limf(w), x->0- 所以极限imf(x)不存在，x=O是函数x)的间断点.因函数x)的图形在x=0处产生跳跃现象， 我们称x=0为函数x)的跳跃间断点。 间断点的分类： 通常把间断点分成两类：如果x0是函数x)的间断点，但左极限x0一O)及右极限xo+0)都存在， 那么xo称为函数x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. 在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点.无穷间 断点和振荡间断点显然是第二间断点. 3