高等数学教案 第一章函数与极限 IAx)-Axo)E, 那么就称函数y=x)在点xo处连续， 左右连续性： 如果imf(x)=f(xo),则称y=fx)在点x。处左连续. →x 如果limf(x)=f(x),则称y=x)在点x。处右连续. X-Xo 左右连续与连续的关系： 函数y=x)在点处连续一函数)y=x)在点o处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性： 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续 连续函数举例： 1.如果fx)是多项式函数，则函数fx)在区间(-0，+o)内是连续的 这是因为，x)在(-0，+0)内任意一点处有定义，且 lim P(x)=P(xo). 2.函数f(x)=√x在区间[0，+o)内是连续的. 3.函数y=sinx在区间(-0，+oo)内是连续的. 证明：设x为区间(-0，+0)内任意一点.则有 Ay=sin(x+Ar)-sin x=2sin x cos(+), 2 2 因为当x→0时，y是无穷小与有界函数的乘积，所以lim△y=0.这就证明了函数y sinx在 区间(o,∞)内任意一点x都是连续的. 4.函数y=cosx在区间(-0+oo)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义： 设函数x)在点x的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数x)有下列三种情形之一： (1)在x0没有定义； (2)虽然在xo有定义，但1imx)不存在； (3)虽然在xo有定义且limx)存在，但1imx)≠xo: 2