赋范线性空间上微分学——空间的完备性 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 定义1.1(基本点列),{xn}neN称为基本点列或 Cauchy点列,如果 VE>0,3N∈N,成立d(xn,xm)=|xn-rml|x<e,Vn,m>Ne 定义1.2(完备赋范线性空间).赋范线性空间(X,|·|x)称为完备的赋范线性空间,如果其 中的所有基本点列均收敛 分析上易获得下述定理 定理1.1(基本点列收敛的充分性条件).如某一基本点列存在一个收敛子列,则此基本点列 收敛 定理12.当(Y,|·y)为完备赋范线性空间时,则有(x(x;Y),·|x(x)为完备赋范线性 空间.此处,V∈(X;Y),1(xy)全sup d(aly x≠o|lx 证明为证明(2(X;Y),|·|x(x:y))的完备性,考虑Ⅴ{ ennen g(X:;Y)为基本点列,亦 ve>0.,3N∈N,成立mn-mhny(x:)<e,Vm,n>N 以下需证彐∞6∈x(X;Y),有mn→∈(X;Y)(n→∞). 考虑对vx∈X,有{n(x)} neN CY为基本点列,由(Y,·|)的完备性,有{n(x)hner 收敛.故可定义 6(x):= lim dn(x)∈Y. n→ 易见,有 6(a+B分):= lim dn(a+B)=a()+36(分),a,B∈R,元,∈X, 由|mnlx(x:)-| nls(xy)≤|ahn-硎(x:Y),则{n|(x) fneN C R为基本点列,故 3lim|hnly(xy)∈R.由此可得{ale(x)}有界.再考虑到 an(x)y≤|anlx(x:)lrlx≤ sup only(x:y)|rlx,赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——空间的完备性 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 定义 1.1 (基本点列). {xn}n∈N 称为基本点列或 Cauchy 点列, 如果 ∀ ε > 0, ∃ Nε ∈ N, 成立 d(xn, xm) = |xn − xm|X < ε, ∀ n, m > Nε. 定义 1.2 (完备赋范线性空间). 赋范线性空间 (X, | · |X) 称为完备的赋范线性空间, 如果其 中的所有基本点列均收敛. 分析上易获得下述定理. 定理 1.1 (基本点列收敛的充分性条件). 如某一基本点列存在一个收敛子列, 则此基本点列 收敛. 定理 1.2. 当 (Y, | · |Y ) 为完备赋范线性空间时, 则有 (L (X; Y ), | · |L (X;Y ) ) 为完备赋范线性 空间. 此处, ∀ A ∈ L (X; Y ), |A |L (X;Y ) , sup |x|X̸=0 |A (x)|Y |x|X . 证明 为证明 (L (X; Y ), | · |L (X;Y ) ) 的完备性, 考虑 ∀ {An}n∈N ⊂ L (X; Y ) 为基本点列, 亦 即 ∀ ε > 0, ∃ Nε ∈ N, 成立|Am − An|L (X;Y ) < ε, ∀ m, n > Nε. 以下需证 ∃ A0 ∈ L (X; Y ), 有 An → A0 ∈ L (X; Y )(n → ∞). 考虑对 ∀ x ∈ X, 有 {An(x)}n∈N ⊂ Y 为基本点列, 由 (Y, | · |Y ) 的完备性, 有 {An(x)}n∈N 收敛. 故可定义 A0(x) := limn→∞ An(x) ∈ Y. 易见, 有 A0(αx˜ + βxˆ) := limn→∞ An(αx˜ + βxˆ) = αA0(˜x) + βA0(ˆx), ∀ α, β ∈ R, x, ˜ xˆ ∈ X, 由 ||Am|L (X;Y ) − |An|L (X;Y ) | 6 |Am − An|L (X;Y ) , 则 {|An|L (X;Y )}n∈N ⊂ R 为基本点列, 故 ∃ limn→∞ |An|L (X;Y ) ∈ R. 由此可得 {|An|L (X;Y )} 有界. 再考虑到 |An(x)|Y 6 |An|L (X;Y ) |x|X 6 sup n∈N |An|L (X;Y ) |x|X, 1