赋范线性空间上微分学一一空间的完备性 谢锡麟 现有|6(x)y=lim|n(x)y,按极限的保号性,有 ∞6(x)y≤ sup. s(x:)llx n∈N 即有 o6l(xy)会su x|x≠0 a)y≤ sup lanIs(x x 由此可证得函∈x(X;Y).最后证mn→∞(m→∞).由 ldm(a)-dn(aly < elarlx, Vm,n>NE, VEEX, 对上式,取m→∞,并考虑到 lim g.(x)=0(x)∈Y,可有 n→0 ∞(x)-ahn(x)y≤ Earl,n>Ne,r∈X 即有 -ahlx(x:y)≤E,vn>N 定理1.3(映照极限的 Cauchy收敛原理).当(Y,|·|y)为完备的赋范线性空间时,则 彐lim,f(x)=y∈Y 等价于 >0,彐6>0,成立f(x)-f()}y<6,V,∈B(xo)∩Dx 证明(1)充分性.现有彐lim,f(x)=30∈Y,按 Cauchy叙述,有 e>0,36>0,成立f(x)-oy<e,Vx∈B(xo)nDx 故有对vx,∈B(x0)∩Dx,有 f(④)一∫(y≤|f(x-yoy+|f()-oly<+E=2 (2)必要性现有vE>0,365>0成立(2)-f(G)y<6,∨2,x∈B(xo)nD2 考虑v{xn}CD\{xo},xn→xo∈X,则有 彐N。∈N,成立0<|xn-xolx<be,Vn>Nb, 故有 If()-f(amly <E, Vn, m>N5 亦即{f(xn)} nEN C Y为基本点列,再由(Y|·ly)为完备的赋范线性空间,因此{f(xn)} nEN C Y 收敛.再考虑 {an}CDn\{xo},mn→x0∈X有f(n)→i∈Y, V{n}CD2\{xo},xn→0∈X有f(an)→∈Y,赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 空间的完备性 谢锡麟 现有 |A0(x)|Y = limn→∞ |An(x)|Y , 按极限的保号性, 有 |A0(x)|Y 6 sup n∈N |An|L (X;Y ) |x|X, 即有 |A0|L (X;Y ) , sup |x|X̸=0 |A0(x)|Y |x|X 6 sup n∈N |An|L (X;Y ) ∈ R +, 由此可证得 A0 ∈ L (X; Y ). 最后证 An → A0 (n → ∞). 由 |Am(x) − An(x)|Y < ε|x|X, ∀ m, n > Nε, ∀ x ∈ X, 对上式, 取 m → ∞, 并考虑到 limn→∞ Am(x) = A0(x) ∈ Y , 可有 |A0(x) − An(x)|Y 6 ε|x|X, ∀ n > Nε, ∀ x ∈ X, 即有 |A0 − An|L (X;Y ) 6 ε, ∀ n > Nε. 定理 1.3 (映照极限的 Cauchy 收敛原理). 当 (Y, | · |Y ) 为完备的赋范线性空间时, 则 ∃ lim x→x0∈X f(x) = y0 ∈ Y 等价于 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立|f(xe) − f(xb)|Y < δε, ∀ x, e xb ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx. 证明 (1) 充分性. 现有 ∃ lim x→x0∈X f(x) = y0 ∈ Y , 按 Cauchy 叙述, 有 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立|f(x) − y0|Y < ε, ∀ x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx, 故有对 ∀ x, e xb ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx, 有 |f(xe) − f(xb)|Y 6 |f(xe) − y0|Y + |f(xb) − y0|Y < ε + ε = 2ε. (2) 必要性. 现有 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0 成立 |f(xe) − f(xb)|Y < δε, ∀ x, e xb ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx. 考虑 ∀ {xn} ⊂ Dx\{x0}, xn → x0 ∈ X, 则有 ∃ Nδε ∈ N, 成立0 < |xn − x0|X < δε, ∀ n > Nδε , 故有 |f(xn) − f(xm)|Y < ε, ∀ n, m > Nδε , 亦即 {f(xn)}n∈N ⊂ Y 为基本点列, 再由 (Y, |·|Y ) 为完备的赋范线性空间, 因此 {f(xn)}n∈N ⊂ Y 收敛. 再考虑 ∀ {xen} ⊂ Dx\{x0}, xen → x0 ∈ X 有 f(xen) → ye0 ∈ Y, ∀ {xbn} ⊂ Dx\{x0}, xbn → x0 ∈ X 有 f(xbn) → yb0 ∈ Y, 2