赋范线性空间上微分学一一空间的完备性 谢锡麟 需证=0∈Y.就此作 有{zn}cD\{xo},满足xn→mo∈X.故有f(mn)→∈Y.由于收敛点列的所有子列 均收敛且极限相同,以及点列极限的唯一性,有v=如0=按映照极限的 Heine叙述,即有 彐lim,f(x) r∈X 2应用事例 命题2.1.设(X,|·|x)为完备的赋范线性空间,则有 3(-)=1+∑=1+m∑)∈2(x,x,ox< k=1 证明首先证明3m(∑)记S=∑估计 k=1 k=1 ntp ≤ ≤ k=n+112(x:x)k=n+1 由于Ux(x:x)<1,故有3∑|U(xx)·按上述估计,则有{Sn}neNc(x;x)为x中 Cauchy点列.由于(x,|·|x)是完备的赋范线性空间,因此(x(x;X)|·|(xx)也是完备的 所以 3imSn=∑U∈(x;X k=1 现在证明(I-U)。(I+∑Uk)=(1+∑Uk)。(-U)=L.为此,估计 k=1 k=1 (I-U)°I+ k=1 2(X;X) k=1 k=2 ZX →∞ 同理,有 ≤|2xx)→0(n→∞)赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 空间的完备性 谢锡麟 需证 ye0 = yb0 ∈ Y. 就此作 xn =    xe2k, n = 2k, xb2k−1, n = 2k − 1, 有 {xn} ⊂ Dx\{x0}, 满足 xn → x0 ∈ X. 故有 f(xn) → y0 ∈ Y . 由于收敛点列的所有子列 均收敛且极限相同, 以及点列极限的唯一性, 有 ye0 = yb0 = y0 . 按映照极限的 Heine 叙述, 即有 ∃ lim x→x0∈X f(x) = y0 ∈ Y . 2 应用事例 命题 2.1. 设 (X, | · |X) 为完备的赋范线性空间, 则有 ∃ (I − U) −1 = I + ∑∞ k=1 U k = I + limn→∞ (∑n k=1 U k ) ∈ L (X; X), ∀ |U|L (X;X) < 1. 证明 首先证明 ∃ limn→∞ (∑n k=1 U k ) . 记 Sn = ∑n k=1 U k , 估计 |Sn+p − Sn|L (X;X) =      n∑ +p k=n+1 U k      L (X;X) 6 n∑ +p k=n+1 |U k |L (X;X) 6 n∑ +p k=n+1 |U| k L (X;X) . 由于 |U|L (X;X) < 1, 故有 ∃ ∑∞ k=1 |U| k L (X;X) . 按上述估计, 则有 {Sn}n∈N ⊂ L (X; X) 为 X 中 Cauchy 点列. 由于 (X, | · |X) 是完备的赋范线性空间, 因此 (L (X; X), | · |L (X;X) ) 也是完备的. 所以 ∃ limn→∞ Sn = ∑∞ k=1 U k ∈ L (X; X). 现在证明 (I − U) ◦ ( I + ∑∞ k=1 U k ) = ( I + ∑∞ k=1 U k ) ◦ (I − U) = I. 为此, 估计      (I − U) ◦ ( I + ∑n k=1 U k ) − I      L (X;X) =      −U + ∑n k=1 U k − ∑n k=1 U k+1      L (X;X) =      ∑n k=2 U k − n∑ +1 k=2 U k      L (X;X) =  U n+1  L (X;X) 6 |U| n+1 L (X;X) → 0 (n → ∞). 同理, 有      ( I + ∑n k=1 U k ) ◦ (I − U) − I      L (X;X) =  U n+1  L (X;X) 6 |U| n+1 L (X;X) → 0 (n → ∞). 3