赋范线性空间上微分学一一空间的完备性 谢锡麟 命题22.VA∈x(X;Y),彐A-∈x(Y;X),当(Y,|·|y)为完备的赋范线性空间时,有 3(4+U)-1=1+∑(-1(4-1ony VArUs k=1 证明考虑到|A-1oU|x(xx)<1,所以有 (A+U)-1=[Ao(I+A-1oU)]-=(r+A-1oU)-oA-1 ∑(-1)(A-2on)A k=1 进一步可以看到|A-1oUlx(xx)≤|A-1(y;x)|Ul(x),即当 IUl(x Y)A-IL(Y: X 时,上述关系式成立 3建立路径赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 空间的完备性 谢锡麟 命题 2.2. ∀ A ∈ L (X; Y ), ∃ A−1 ∈ L (Y ; X), 当 (Y, | · |Y ) 为完备的赋范线性空间时, 有 ∃ (A + U) −1 = [ I + ∑∞ k=1 (−1)k (A −1 ◦ U) k ] ◦ A −1 , ∀ |A −1 ◦ U|L (X;X) < 1. 证明 考虑到 |A−1 ◦ U|L (X;X) < 1, 所以有 (A + U) −1 = [ A ◦ (I + A −1 ◦ U) ]−1 = ( I + A −1 ◦ U )−1 ◦ A −1 = ( I + ∑∞ k=1 (−1)k (A −1 ◦ U) k ) ◦ A −1 . 进一步可以看到 |A−1 ◦ U|L (X;X) 6 |A−1 |L (Y ;X) |U|L (X;Y ) , 即当 |U|L (X;Y ) < 1 |A−1|L (Y ;X) 时, 上述关系式成立. 3 建立路径 4