学时头教 参考 贫 料,不析函数的局域性展开 §5.1解析函数的 Taylor展开 个幂函数在它的收敛圊内代表一个解析函数 如何把一个解析函数表示成幂级数? 定理5.1( Taylor)设函数f(2)在以a为圆心的圆C内及C上解析,则对于圆内的任何z 点,f(2)可用幂级数展开为(或者说,f(2)可在a点展开为幂级数) f(2)=∑an(2 其中 f() C取逆时针方向 证根据 Cauchy积分公式,对于圆C内任意一点z,有 )=如 f() 但是, 此级数在/r<1的区域中一致收敛,因此可以逐项积分, ( n=0 (S-a n+ds f(n)(a) 说明 1.定理的条件可以放宽,只要f(2)在C内解析即可 ①以后的围道积分,除特别说明的以外,均为逆时针方向￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ ✌ 1 ✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛ §5.1 ✜✢✣✤✥ Taylor ✦✧ ★✩✪✫✬✭✮✯✰✱ ✲✳✴✵★✩✶✷✫✬✸ ✹✺✻★✩✶✷✫✬✵✼✽✪✾✬ ✿ ❀❁ 5.1 (Taylor) ❂❃❄ f(z) ❅❆ a ❇ ❈❉❊ ❈ C ❋● C ❍■❏❑▲▼◆ ❈❋❊❖P z ◗ ❑ f(z) ❘❙❚❯❄❱❲❇ (❳❨❩❑ f(z) ❘❅ a ◗ ❱❲❇❚❯❄) f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , ❬ ❭ an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! , C ❪❫❴❵❛ ❜ ❝ ✸ ❞ ❡❢ Cauchy ❣❤✐❥❑▼◆ ❈ C ❋❖❦❧◗ z ❑♠ f(z) = 1 2π i I C f(ζ) ζ − z dζ. ♥♦❑ 1 ζ − z = 1 (ζ − a) − (z − a) = 1 ζ − a X∞ n=0  z − a ζ − a n . ♣ ❯❄❅     z − a ζ − a     ≤ r < 1 ❊qr ❭ ❧st✉❑✈♣ ❘❆✇①❣❤❑ f(z) = 1 2π i I C "X∞ n=0 (z − a) n (ζ − a) n+1 # f(ζ)dζ = X∞ n=0  1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ  (z − a) n = X∞ n=0 an(z − a) n , an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − a) n+1 dζ = f (n) (a) n! . ❩ ②③ 1. ④⑤❊⑥⑦❘❆⑧⑨❑⑩❶ f(z) ❅ C ❋■❏❷❘✸ ❝ ❸❹❺❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄❺❸➅❿➆➇➈➉➊➋➌➍