51解析函数的 Taylor展开 这时对于给定的z,总可以以α为圆心作一圆C",把z包围在圆内.f(z)在C"内及 上是解析的 2.这里 Taylor展开的形式和实变函数中的 Taylor公式相同,但是条件不同 ★在实变函数中,f(x)的任何阶导数存在,还不足以保证 Taylor公式存在(或 Taylor公式收 敛) ★在复变函数中,解析的要求(一阶导数存在)就足以保证 Taylor级数收敛 3.收敛范围函数∫(z)的奇点完全决定了 Taylor级数的收敛半径.设b是f(2)的离a点最 近的奇点,则一般说来,收敛半径R=|-a ∫(z)在圆|z-a<|-叫内处处解析,∫(z)可以在圆内展开为 Taylor级数(或者说 Taylor级数在圆|z-a<阝b-叫内收敛)·这就是说,f(z)的 Taylor级数收敛半径不小 于|-a 收敛半径一般也不能大于阝-a.否则,b点就包含在收敛圆内,因而幂级数在收敛 圆内处处解析,与b点为奇点的假设矛盾(除非b点是可去奇点,见5.5节) 1+z2 ∑(-)"a z|< 函数的奇点z=±就决定了 Taylor级数的收敛半径R=|±i=1 而在实数范围内, Taylor级数的收敛半径与函数性质之间的联系就难以讨论 )nx2n,-1<x<1 1+ 就难以理解收敛半径为何是1,因为函数1/(1+x2)在整个实轴上都是连续可导、并且任何阶导数 都是存在的! 4. Taylor展开的唯一性给定一个在圆C内解析的函数,则它的 Taylor展开是唯一的,即 展开系数an是完全确定的 证假定有两个 Taylor级数在圆C内都收敛到同一个解析函数f(z) f(2)=a0+a1(2-a)+a2(2-a)2+…+an(z-a)+ a+a1(z-a)+a2(2-a)2+…+aln(z-a)+ 取极限z 则由于级数在C内的任一闭区域中一致收敛,故有 逐项微商,再取极限z→a,又得§5.1 ✄☎✆✝✞ Taylor ☛☞ ✌ 2 ✍ ➎➏➐➑➒➓✯ z ❑ ➔→ ➣➣ a ↔ ✲↕➙★ ✲ C 0 ❑✻ z ➛➜✭ ✲✳✸ f(z) ✭ C 0 ✳➝ C 0 ➞➟✶✷✯✸ 2. ➠➡ Taylor ❱❲❊➢❥➤➥➦❃❄ ❭ ❊ Taylor ✐❥➧➨❑♥♦⑥⑦➩➨✸ F ❅➥➦❃❄ ❭ ❑ f(x) ❊❖P➫➭❄➯❅❑➲➩➳❆➵➸ Taylor ✐❥➯❅ (❳ Taylor ✐❥t ✉) ✸ F ❅➺➦❃❄ ❭ ❑■❏❊❶➻ (❧➫➭❄➯❅) ➼➳❆➵➸ Taylor ❯❄t✉✸ 3. ➽➾➚➪ ❃❄ f(z) ❊➶◗➹➘➴④➷ Taylor ❯❄❊t✉➬➮✸❂ b ♦ f(z) ❊➱ a ◗✃ ❐ ❊➶◗ ❑▲❧❒❩❮❑t✉➬➮ R = |b − a| ✸ f(z) ✭ ✲ |z − a| < |b − a| ✳❰❰✶✷❑ f(z) → ➣✭ ✲✳ÏÐ↔ Taylor ✾✬ (ÑÒÓ❑ Taylor ✾✬✭ ✲ |z − a| < |b − a| ✳✰✱) ✸➎Ô➟Ó❑ f(z) ✯ Taylor ✾✬✰✱ÕÖ×Ø ➑ |b − a| ✸ ✰✱ÕÖ★ÙÚ×ÛÜ➑ |b − a| ✸ÝÞ❑ b ß Ô ➛à✭✰✱ ✲✳❑áâ✪✾✬✭✰✱ ✲✳❰❰✶✷❑ã b ß↔äß✯åæ çè (é ê b ß➟→ëäß❑ì 5.5 í) ✸ 1 1 + z 2 = X∞ n=0 (−) n z 2n , |z| < 1. ❃❄❊➶◗ z = ±i ➼ ➴ ④➷ Taylor ❯❄❊t✉➬➮ R = | ± i| = 1 ✸ î ❅➥❄ï ð❋❑ Taylor ❯❄❊t✉➬➮ñ❃❄òóôõ❊ö÷➼ø❆ùú✸ 1 1 + x 2 = X∞ n=0 (−) nx 2n , −1 < x < 1, ➼ø❆⑤■t✉➬➮❇P♦ 1 ❑✈❇❃❄ 1/(1 + x 2 ) ❅ûü➥ý❍þ♦ÿ￾ ❘➭✁ ✂✄❖P➫➭❄ þ ♦ ➯❅❊ ☎ 4. Taylor ✆✝✞✟✠✡ ☛④❧ü❅ ❈ C ❋■❏❊❃❄❑▲☞❊ Taylor ❱❲♦✌ ❧❊❑❷ ❱❲÷❄ an ♦➹➘✍ ④❊✸ ❞ ✎ ④♠✏ü Taylor ❯❄❅ ❈ C ❋þt✉✑➨❧ü■❏❃❄ f(z) ❑ f(z) = a0 + a1(z − a) + a2(z − a) 2 + · · · + an(z − a) n + · · · = a 0 0 + a 0 1 (z − a) + a 0 2 (z − a) 2 + · · · + a 0 n (z − a) n + · · · . ❪✒✓ z→a ❑▲ ✔◆❯❄❅ C ❋❊❖❧✕qr ❭ ❧st✉❑✖♠ a0 = a 0 0 . ✇①✗✘❑✙❪✒✓ z → a ❑✚✛ a1 = a 0 1