张东等：迭代广义短时Fourier变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 ·605· 障成因并进行有效的状态监测及故障诊断具有重要的 x(t)= (2) 现实意义回 豆0=点L0Fn 风力发电机组、直升机等设备中的行星齿轮箱经 式中，K为多分量信号中包含单分量的个数，x()为 常在非平稳状态下工作，其振动信号具有明显的时变 x(t)的第i个分量，A,(t)和f(t)分别为第i个分量 特征.常规的基于Fourier变换的频谱分析难以满足 x,()的瞬时幅值和瞬时频率 非平稳信号的分析要求，故研究可以刻画信号各频率 将瞬时频率∫(t)在t=t。时刻利用Taylor展开，即有 成分随时间变化趋势的时频分析技术是十分必要 f(t)=f()+f()(t-。)+R,(t).(3) 的.以ST℉T及小波变换为代表的线性时频分析技 式中，R,(t)为f()在。处的1阶余项.忽略余项 术虽可以用来分析非平稳信号，从而得到各频率成分 R(t)则有 随时间的变化趋势，但受Heisenberg不确定性原则的 f(t)=f(to)+f (to)(t-to) (4) 限制无法同时得到具备良好时间分辨率和频率分辨率 第i个分量x(t)的STFT为 的时频分布6.同样以Wigner-Vie分布为代表的双 sT,d]=」i4()cpg-e-r. 线性时频分析方法虽然有效改善了时频分布的分辨 (5) 率，但其分析结果易于受交叉项的干扰而不适于分析 多分量信号四 将Taylor展开后得到的瞬时频率式(4)代入式 近期，Yu和Zou@提出了广义线性调频小波变 (5),即有 换，并指出在STT中存在的调制系数影响了时频分 STT[x()]≈ 布的能量聚集程度.对于瞬时频率近乎恒定的信号， A,(z）ef=tww-1g(r-t)eP0dr STFT可以得到能量聚集性较好的时频分布，但在分析 非平稳信号的过程中，由于时频分布的能量扩散到主 A()e2wrew-ogg-小e-rdr 导频率的周围区域而降低了时频图的可读性.广义解 (6) 调可以将任意时变信号的瞬时频率变换为恒定频 不失一般性，令1=o,在。处信号x:()的时频分布为 率I-围，因此为充分发挥STT的性能，提供了有效的 TFR,of (t =STFT (t ] 预处理手段. A (T)ese ("g(-to)ed= 综合考虑广义解调在非平稳信号分析中的优势和 STT在分析非平稳信号中的不足，本文提出了 4(xe×g-w .(7) IG-STFT.利用迭代广义解调从非平稳信号中提取出 MP 多个频率恒定的单分量.运用STT分析各近似平稳 由(7)式可见，在TR。,∫(。)]中存在调制系 的单分量得到其时频分布，并依据相位函数和多个单 数MP.当(t)缓变或为常数时(t)≈0，调制项MP 分量的时频分布获得原始信号的时频分布.行星齿轮 的调制作用较小，甚至可以忽略不计.但当，(：)随时 箱仿真信号及实验信号验证了提出方法的有效性，并 间产生较大变化时(：)0，MP项的调制作用增大， 成功诊断了行星齿轮箱故障. 使得信号时频曲线的能量扩散至周围区域 运用ST℉T分析瞬时频率变化趋势如图1(a)所示 1迭代广义短时Fourier变换 的非平稳仿真信号（该信号中包含瞬时频率分别为厂、 1.1短时Fourier变换 和∫的三个单分量)，得到如图1(b)所示的分析结 STT是目前应用最为广泛的非平稳信号分析技 果.由图1，当信号瞬时频率快速变化时，时频曲线的 术，本质上而言是一种窗口化的Fourier变换.它通过 能量扩散至周围区域而降低了时频图的可读性.而当 假设信号在某一小段时间内是平稳的，对非平稳信号 瞬时频率不变时，其时频曲线的能量集中性强，可得到 加时间窗，再通过对窗内的信号进行Fourier变换来达 较为理想的时频分布.上述分析结果进一步验证了 到刻画信号中频率成分随时间变化趋势的目的.信号 STFT分析非平稳信号过程中存在的不足. x(t)的STFT为 1.2广义解调 广义解调可以实现瞬时频率为非线性或随时间骤 STFT [(]=S,]=x()g(T-t)e-Path (1) 变的非平稳信号向瞬时频率为线性或随时间缓变信号 式中，g()为窗函数，∫为信号x(t)的瞬时频率，x(x)· 的过渡.在广义解调过程中，首先需要构造相位函数 g(r-)为1时刻截取下来的局部信号（将x()和g() s(),然后构造出解调函数e并与原始信号相乘， 的时间变量换为). 最后对其进行Fourier变换4-.本质上而言，广义解 通常情况下，多分量非平稳信号可表述为 调是一种广义化的Fourier变换.广义解调可表述为张 东等: 迭代广义短时 Fourier 变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 障成因并进行有效的状态监测及故障诊断具有重要的 现实意义［3］． 风力发电机组、直升机等设备中的行星齿轮箱经 常在非平稳状态下工作，其振动信号具有明显的时变 特征． 常规的基于 Fourier 变换的频谱分析难以满足 非平稳信号的分析要求，故研究可以刻画信号各频率 成分随时间变化趋势的时频分析技术是十分必要 的［4--5］． 以 STFT 及小波变换为代表的线性时频分析技 术虽可以用来分析非平稳信号，从而得到各频率成分 随时间的变化趋势，但受 Heisenberg 不确定性原则的 限制无法同时得到具备良好时间分辨率和频率分辨率 的时频分布［6--8］． 同样以 Wigner-Ville 分布为代表的双 线性时频分析方法虽然有效改善了时频分布的分辨 率，但其分析结果易于受交叉项的干扰而不适于分析 多分量信号［9］． 近期，Yu 和 Zhou［10］提出了广义线性调频小波变 换，并指出在 STFT 中存在的调制系数影响了时频分 布的能量聚集程度． 对于瞬时频率近乎恒定的信号， STFT 可以得到能量聚集性较好的时频分布，但在分析 非平稳信号的过程中，由于时频分布的能量扩散到主 导频率的周围区域而降低了时频图的可读性． 广义解 调可以将任意时变信号的瞬时频率变换为恒定频 率［11--13］，因此为充分发挥 STFT 的性能，提供了有效的 预处理手段． 综合考虑广义解调在非平稳信号分析中的优势和 STFT 在分析非平稳信号中的不足，本 文 提 出 了 IG-STFT． 利用迭代广义解调从非平稳信号中提取出 多个频率恒定的单分量． 运用 STFT 分析各近似平稳 的单分量得到其时频分布，并依据相位函数和多个单 分量的时频分布获得原始信号的时频分布． 行星齿轮 箱仿真信号及实验信号验证了提出方法的有效性，并 成功诊断了行星齿轮箱故障． 1 迭代广义短时 Fourier 变换 1. 1 短时 Fourier 变换 STFT 是目前应用最为广泛的非平稳信号分析技 术，本质上而言是一种窗口化的 Fourier 变换． 它通过 假设信号在某一小段时间内是平稳的，对非平稳信号 加时间窗，再通过对窗内的信号进行 Fourier 变换来达 到刻画信号中频率成分随时间变化趋势的目的． 信号 x( t) 的 STFT 为 STFT［x( t) ］= Sx ［t，f］= ∫ x( τ) g( τ － t) e － j2πfτ ( 1) 式中，g( t) 为窗函数，f 为信号 x( t) 的瞬时频率，x( τ)· g( τ － t) 为 t 时刻截取下来的局部信号( 将 x( t) 和g( t) 的时间变量换为 τ) ． 通常情况下，多分量非平稳信号可表述为 x( t) = ∑ K i = 1 xi ( t) = ∑ K i = 1 Ai ( t) ej ∫2πfi ( t) dt ． ( 2) 式中，K 为多分量信号中包含单分量的个数，xi ( t) 为 x( t) 的第 i 个分量，Ai ( t) 和 fi ( t) 分别为第 i 个分量 xi ( t) 的瞬时幅值和瞬时频率． 将瞬时频率 fi ( t) 在 t = t0 时刻利用 Taylor 展开，即有 fi ( t) = fi ( t0 ) + f'i ( t0 ) ( t － t0 ) + Ｒ1 ( t) ． ( 3) 式中，Ｒ1 ( t) 为 fi ( t) 在 t0 处的 1 阶 余 项． 忽 略 余 项 Ｒ1 ( t) 则有 fi ( t) ≈fi ( t0 ) + f'i ( t0 ) ( t － t0 ) ． ( 4) 第 i 个分量 xi ( t) 的 STFT 为 STFT［xi ( t) ］= ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) ej ∫2πfi dτ g( τ － t) e － j2πfi ( t) τ dτ． ( 5) 将 Taylor 展开后得到的瞬时频率式( 4) 代入 式 ( 5) ，即有 STFT［xi ( t) ］≈ ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) ej ∫2π［fi ( t0) +f'i ( t0) ( τ －t0 ) ］dτ g( τ － t) e － j2πfi ( t) τ dτ = ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) ej2πfi ( t0) τ ej2πf'i ( t0) ( τ － t0) 2 /2 g( τ － t) e － j2πfi ( t) τ dτ． ( 6) 不失一般性，令 t = t0，在 t0 处信号 xi ( t) 的时频分布为 TFＲxi ［t0，fi ( t0) ］= STFT［xi ( t0) ］≈ ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) ej2πfi ( t0) τ ej2πf'i ( t0) ( τ － t0) 2 /2 g( τ － t0 ) e － j2πfi ( t0) τ dτ = ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) × ej2πf'i ( t0) ( τ － t0) 2 / { 2 MP × g( τ － t0 ) dτ． ( 7) 由( 7) 式可见，在TFＲxi ［t0，fi ( t0) ］中存在调制系 数 MP． 当 fi ( t) 缓变或为常数时 f'i ( t) ≈0，调制项 MP 的调制作用较小，甚至可以忽略不计． 但当 fi ( t) 随时 间产生较大变化时 f'i ( t) 0，MP 项的调制作用增大， 使得信号时频曲线的能量扩散至周围区域． 运用 STFT 分析瞬时频率变化趋势如图 1( a) 所示 的非平稳仿真信号( 该信号中包含瞬时频率分别为 f1、 f2和 f3的三个单分量) ，得到如图 1( b) 所示的分析结 果． 由图 1，当信号瞬时频率快速变化时，时频曲线的 能量扩散至周围区域而降低了时频图的可读性． 而当 瞬时频率不变时，其时频曲线的能量集中性强，可得到 较为理想的时频分布． 上述分析结果进一步验证了 STFT 分析非平稳信号过程中存在的不足． 1. 2 广义解调 广义解调可以实现瞬时频率为非线性或随时间骤 变的非平稳信号向瞬时频率为线性或随时间缓变信号 的过渡． 在广义解调过程中，首先需要构造相位函数 s( t) ，然后构造出解调函数 e － s( t) 并与原始信号相乘， 最后对其进行 Fourier 变换［14--15］． 本质上而言，广义解 调是一种广义化的 Fourier 变换． 广义解调可表述为 · 506 ·