迭代广义短时Fourier变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用

工程科学学报，第39卷，第4期：604610,2017年4月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.4:604-610,April 2017 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.016:http://journals.ustb.edu.cn 迭代广义短时Fourier变换在行星齿轮箱故障诊断中 的应用 张 东，冯志鹏网 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:fengzp@usth.cdu.cn 摘要短时Fourier变换(STFT)在分析非平稳信号的过程中，受调制系数的影响，时频分布图中的能量扩散至主导频率的 周围，降低了时频分布的可读性.运用STT分析瞬时频率缓变或恒定的信号时，调制系数的影响较小甚至可以忽略不计，而 得到能量聚集程度很高的时频分布.根据这一特点，提出了迭代广义短时Fourier变换(IG-STFT),该方法有效改善了时频图 的可读性.首先运用迭代广义解调分离出频率恒定的单分量成分，然后运用ST℉T分析信号的时频分布，最后依据ST℉T的分 析结果和相位函数得到原信号的时频分布.通过行星齿轮箱仿真信号和实验信号分析，验证了该方法在分析非平稳信号中 的有效性，准确诊断了齿轮故障. 关键词故障诊断：行星齿轮箱：傅里叶变换：广义解调：非平稳信号 分类号TH165.3 Application of iterative generalized short-time Fourier transform to fault diagnosis of planetary gearboxes ZHANG Dong,FENG Zhi-peng School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fengzp@ustb.edu.en ABSTRACT Due to the effect of the modulation part,the energy diffuses around the surrounding area of dominating frequencies and diminishes the readability of the time-frequency representation when short-time Fourier transform (STFT)is used to process nonsta- tionary signals.However,when the instantaneous frequency slowly changes or is constant,the effect is small and can even be neglec- ted.Thus,the time-frequency representations have high-energy concentration.Based on this feature,a novel method called iterative generalized short-time Fourier transform (IG-STFT)was proposed,which improved the readability of the time-frequency representa- tion.First,the stationary mono-components are separated using iterative generalized demodulation.Then,the time-frequency repre- sentations of each mono-component are acquired using STFT.Finally,the time-frequency representation of the original signal is obtained according to the analysis results of STFT and the phase function.The analysis results of a planetary gearbox simulation signal and experimental signals verify the effectiveness of this method for analyzing nonstationary signals and diagnosing gear faults. KEY WORDS fault diagnosis:planetary gearbox:Fourier transform:generalized demodulation:nonstationary signal 行星齿轮箱在风力发电机组、直升机等设备中应机组运行过程中行星齿轮箱齿轮一旦出现故障，将会 用广泛，是传动系统中的关键部件四.实际运行中行 大大降低动力传递效率甚至导致设备停机，带来巨大 星齿轮箱的工作环境恶劣，各齿轮易于出现故障.在 的经济损失乃至人员伤亡四。故研究行星齿轮箱的故 收稿日期：2016-06-20 基金项目：国家自然科学基金资助项目(11272047,51475038)

工程科学学报，第 39 卷，第 4 期: 604--610，2017 年 4 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 4: 604--610，April 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 04． 016; http: / /journals． ustb． edu． cn 迭代广义短时 Fourier 变换在行星齿轮箱故障诊断中 的应用 张 东，冯志鹏 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: fengzp@ ustb． edu． cn 摘 要 短时 Fourier 变换( STFT) 在分析非平稳信号的过程中，受调制系数的影响，时频分布图中的能量扩散至主导频率的 周围，降低了时频分布的可读性． 运用 STFT 分析瞬时频率缓变或恒定的信号时，调制系数的影响较小甚至可以忽略不计，而 得到能量聚集程度很高的时频分布． 根据这一特点，提出了迭代广义短时 Fourier 变换( IG-STFT) ，该方法有效改善了时频图 的可读性． 首先运用迭代广义解调分离出频率恒定的单分量成分，然后运用 STFT 分析信号的时频分布，最后依据 STFT 的分 析结果和相位函数得到原信号的时频分布． 通过行星齿轮箱仿真信号和实验信号分析，验证了该方法在分析非平稳信号中 的有效性，准确诊断了齿轮故障． 关键词 故障诊断; 行星齿轮箱; 傅里叶变换; 广义解调; 非平稳信号 分类号 TH165 + . 3 收稿日期: 2016--06--20 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 11272047，51475038) Application of iterative generalized short-time Fourier transform to fault diagnosis of planetary gearboxes ZHANG Dong，FENG Zhi-peng School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: fengzp@ ustb． edu． cn ABSTＲACT Due to the effect of the modulation part，the energy diffuses around the surrounding area of dominating frequencies and diminishes the readability of the time--frequency representation when short-time Fourier transform ( STFT) is used to process nonsta￾tionary signals． However，when the instantaneous frequency slowly changes or is constant，the effect is small and can even be neglec￾ted． Thus，the time--frequency representations have high-energy concentration． Based on this feature，a novel method called iterative generalized short-time Fourier transform ( IG-STFT) was proposed，which improved the readability of the time--frequency representa￾tion． First，the stationary mono-components are separated using iterative generalized demodulation． Then，the time--frequency repre￾sentations of each mono-component are acquired using STFT． Finally，the time--frequency representation of the original signal is obtained according to the analysis results of STFT and the phase function． The analysis results of a planetary gearbox simulation signal and experimental signals verify the effectiveness of this method for analyzing nonstationary signals and diagnosing gear faults． KEY WOＲDS fault diagnosis; planetary gearbox; Fourier transform; generalized demodulation; nonstationary signal 行星齿轮箱在风力发电机组、直升机等设备中应 用广泛，是传动系统中的关键部件［1］． 实际运行中行 星齿轮箱的工作环境恶劣，各齿轮易于出现故障． 在 机组运行过程中行星齿轮箱齿轮一旦出现故障，将会 大大降低动力传递效率甚至导致设备停机，带来巨大 的经济损失乃至人员伤亡［2］． 故研究行星齿轮箱的故

张东等：迭代广义短时Fourier变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 ·605· 障成因并进行有效的状态监测及故障诊断具有重要的 x(t)= (2) 现实意义回 豆0=点L0Fn 风力发电机组、直升机等设备中的行星齿轮箱经 式中，K为多分量信号中包含单分量的个数，x()为 常在非平稳状态下工作，其振动信号具有明显的时变 x(t)的第i个分量，A,(t)和f(t)分别为第i个分量 特征.常规的基于Fourier变换的频谱分析难以满足 x,()的瞬时幅值和瞬时频率 非平稳信号的分析要求，故研究可以刻画信号各频率 将瞬时频率∫(t)在t=t。时刻利用Taylor展开，即有 成分随时间变化趋势的时频分析技术是十分必要 f(t)=f()+f()(t-。)+R,(t).(3) 的.以ST℉T及小波变换为代表的线性时频分析技 式中，R,(t)为f()在。处的1阶余项.忽略余项 术虽可以用来分析非平稳信号，从而得到各频率成分 R(t)则有 随时间的变化趋势，但受Heisenberg不确定性原则的 f(t)=f(to)+f (to)(t-to) (4) 限制无法同时得到具备良好时间分辨率和频率分辨率 第i个分量x(t)的STFT为 的时频分布6.同样以Wigner-Vie分布为代表的双 sT,d]=」i4()cpg-e-r. 线性时频分析方法虽然有效改善了时频分布的分辨 (5) 率，但其分析结果易于受交叉项的干扰而不适于分析 多分量信号四 将Taylor展开后得到的瞬时频率式(4)代入式 近期，Yu和Zou@提出了广义线性调频小波变 (5),即有 换，并指出在STT中存在的调制系数影响了时频分 STT[x()]≈ 布的能量聚集程度.对于瞬时频率近乎恒定的信号， A,(z）ef=tww-1g(r-t)eP0dr STFT可以得到能量聚集性较好的时频分布，但在分析 非平稳信号的过程中，由于时频分布的能量扩散到主 A()e2wrew-ogg-小e-rdr 导频率的周围区域而降低了时频图的可读性.广义解 (6) 调可以将任意时变信号的瞬时频率变换为恒定频 不失一般性，令1=o,在。处信号x:()的时频分布为 率I-围，因此为充分发挥STT的性能，提供了有效的 TFR,of (t =STFT (t ] 预处理手段. A (T)ese ("g(-to)ed= 综合考虑广义解调在非平稳信号分析中的优势和 STT在分析非平稳信号中的不足，本文提出了 4(xe×g-w .(7) IG-STFT.利用迭代广义解调从非平稳信号中提取出 MP 多个频率恒定的单分量.运用STT分析各近似平稳 由(7)式可见，在TR。,∫(。)]中存在调制系 的单分量得到其时频分布，并依据相位函数和多个单 数MP.当(t)缓变或为常数时(t)≈0，调制项MP 分量的时频分布获得原始信号的时频分布.行星齿轮 的调制作用较小，甚至可以忽略不计.但当，(：)随时 箱仿真信号及实验信号验证了提出方法的有效性，并 间产生较大变化时(：)0，MP项的调制作用增大， 成功诊断了行星齿轮箱故障. 使得信号时频曲线的能量扩散至周围区域 运用ST℉T分析瞬时频率变化趋势如图1(a)所示 1迭代广义短时Fourier变换 的非平稳仿真信号（该信号中包含瞬时频率分别为厂、 1.1短时Fourier变换 和∫的三个单分量)，得到如图1(b)所示的分析结 STT是目前应用最为广泛的非平稳信号分析技 果.由图1，当信号瞬时频率快速变化时，时频曲线的 术，本质上而言是一种窗口化的Fourier变换.它通过 能量扩散至周围区域而降低了时频图的可读性.而当 假设信号在某一小段时间内是平稳的，对非平稳信号 瞬时频率不变时，其时频曲线的能量集中性强，可得到 加时间窗，再通过对窗内的信号进行Fourier变换来达 较为理想的时频分布.上述分析结果进一步验证了 到刻画信号中频率成分随时间变化趋势的目的.信号 STFT分析非平稳信号过程中存在的不足. x(t)的STFT为 1.2广义解调 广义解调可以实现瞬时频率为非线性或随时间骤 STFT [(]=S,]=x()g(T-t)e-Path (1) 变的非平稳信号向瞬时频率为线性或随时间缓变信号 式中，g()为窗函数，∫为信号x(t)的瞬时频率，x(x)· 的过渡.在广义解调过程中，首先需要构造相位函数 g(r-)为1时刻截取下来的局部信号（将x()和g() s(),然后构造出解调函数e并与原始信号相乘， 的时间变量换为). 最后对其进行Fourier变换4-.本质上而言，广义解 通常情况下，多分量非平稳信号可表述为 调是一种广义化的Fourier变换.广义解调可表述为

张 东等: 迭代广义短时 Fourier 变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 障成因并进行有效的状态监测及故障诊断具有重要的 现实意义［3］． 风力发电机组、直升机等设备中的行星齿轮箱经 常在非平稳状态下工作，其振动信号具有明显的时变 特征． 常规的基于 Fourier 变换的频谱分析难以满足 非平稳信号的分析要求，故研究可以刻画信号各频率 成分随时间变化趋势的时频分析技术是十分必要 的［4--5］． 以 STFT 及小波变换为代表的线性时频分析技 术虽可以用来分析非平稳信号，从而得到各频率成分 随时间的变化趋势，但受 Heisenberg 不确定性原则的 限制无法同时得到具备良好时间分辨率和频率分辨率 的时频分布［6--8］． 同样以 Wigner-Ville 分布为代表的双 线性时频分析方法虽然有效改善了时频分布的分辨 率，但其分析结果易于受交叉项的干扰而不适于分析 多分量信号［9］． 近期，Yu 和 Zhou［10］提出了广义线性调频小波变 换，并指出在 STFT 中存在的调制系数影响了时频分 布的能量聚集程度． 对于瞬时频率近乎恒定的信号， STFT 可以得到能量聚集性较好的时频分布，但在分析 非平稳信号的过程中，由于时频分布的能量扩散到主 导频率的周围区域而降低了时频图的可读性． 广义解 调可以将任意时变信号的瞬时频率变换为恒定频 率［11--13］，因此为充分发挥 STFT 的性能，提供了有效的 预处理手段． 综合考虑广义解调在非平稳信号分析中的优势和 STFT 在分析非平稳信号中的不足，本 文 提 出 了 IG-STFT． 利用迭代广义解调从非平稳信号中提取出 多个频率恒定的单分量． 运用 STFT 分析各近似平稳 的单分量得到其时频分布，并依据相位函数和多个单 分量的时频分布获得原始信号的时频分布． 行星齿轮 箱仿真信号及实验信号验证了提出方法的有效性，并 成功诊断了行星齿轮箱故障． 1 迭代广义短时 Fourier 变换 1. 1 短时 Fourier 变换 STFT 是目前应用最为广泛的非平稳信号分析技 术，本质上而言是一种窗口化的 Fourier 变换． 它通过 假设信号在某一小段时间内是平稳的，对非平稳信号 加时间窗，再通过对窗内的信号进行 Fourier 变换来达 到刻画信号中频率成分随时间变化趋势的目的． 信号 x( t) 的 STFT 为 STFT［x( t) ］= Sx ［t，f］= ∫ x( τ) g( τ － t) e － j2πfτ ( 1) 式中，g( t) 为窗函数，f 为信号 x( t) 的瞬时频率，x( τ)· g( τ － t) 为 t 时刻截取下来的局部信号( 将 x( t) 和g( t) 的时间变量换为 τ) ． 通常情况下，多分量非平稳信号可表述为 x( t) = ∑ K i = 1 xi ( t) = ∑ K i = 1 Ai ( t) ej ∫2πfi ( t) dt ． ( 2) 式中，K 为多分量信号中包含单分量的个数，xi ( t) 为 x( t) 的第 i 个分量，Ai ( t) 和 fi ( t) 分别为第 i 个分量 xi ( t) 的瞬时幅值和瞬时频率． 将瞬时频率 fi ( t) 在 t = t0 时刻利用 Taylor 展开，即有 fi ( t) = fi ( t0 ) + f'i ( t0 ) ( t － t0 ) + Ｒ1 ( t) ． ( 3) 式中，Ｒ1 ( t) 为 fi ( t) 在 t0 处的 1 阶 余 项． 忽 略 余 项 Ｒ1 ( t) 则有 fi ( t) ≈fi ( t0 ) + f'i ( t0 ) ( t － t0 ) ． ( 4) 第 i 个分量 xi ( t) 的 STFT 为 STFT［xi ( t) ］= ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) ej ∫2πfi dτ g( τ － t) e － j2πfi ( t) τ dτ． ( 5) 将 Taylor 展开后得到的瞬时频率式( 4) 代入 式 ( 5) ，即有 STFT［xi ( t) ］≈ ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) ej ∫2π［fi ( t0) +f'i ( t0) ( τ －t0 ) ］dτ g( τ － t) e － j2πfi ( t) τ dτ = ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) ej2πfi ( t0) τ ej2πf'i ( t0) ( τ － t0) 2 /2 g( τ － t) e － j2πfi ( t) τ dτ． ( 6) 不失一般性，令 t = t0，在 t0 处信号 xi ( t) 的时频分布为 TFＲxi ［t0，fi ( t0) ］= STFT［xi ( t0) ］≈ ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) ej2πfi ( t0) τ ej2πf'i ( t0) ( τ － t0) 2 /2 g( τ － t0 ) e － j2πfi ( t0) τ dτ = ∫ +∞ －∞ Ai ( τ) × ej2πf'i ( t0) ( τ － t0) 2 / { 2 MP × g( τ － t0 ) dτ． ( 7) 由( 7) 式可见，在TFＲxi ［t0，fi ( t0) ］中存在调制系 数 MP． 当 fi ( t) 缓变或为常数时 f'i ( t) ≈0，调制项 MP 的调制作用较小，甚至可以忽略不计． 但当 fi ( t) 随时 间产生较大变化时 f'i ( t) 0，MP 项的调制作用增大， 使得信号时频曲线的能量扩散至周围区域． 运用 STFT 分析瞬时频率变化趋势如图 1( a) 所示 的非平稳仿真信号( 该信号中包含瞬时频率分别为 f1、 f2和 f3的三个单分量) ，得到如图 1( b) 所示的分析结 果． 由图 1，当信号瞬时频率快速变化时，时频曲线的 能量扩散至周围区域而降低了时频图的可读性． 而当 瞬时频率不变时，其时频曲线的能量集中性强，可得到 较为理想的时频分布． 上述分析结果进一步验证了 STFT 分析非平稳信号过程中存在的不足． 1. 2 广义解调 广义解调可以实现瞬时频率为非线性或随时间骤 变的非平稳信号向瞬时频率为线性或随时间缓变信号 的过渡． 在广义解调过程中，首先需要构造相位函数 s( t) ，然后构造出解调函数 e － s( t) 并与原始信号相乘， 最后对其进行 Fourier 变换［14--15］． 本质上而言，广义解 调是一种广义化的 Fourier 变换． 广义解调可表述为 · 506 ·

·606 工程科学学报，第39卷，第4期 幅值 辐值 150 ■12 150 (a) 12 10 100 2 时间s 时间/s 图1仿真信号分析结果.(a)实际时频分布：(b)STT时频分布 Fig.1 Analysis results of simulation signal:(a)true spectrogram:(b)STFT spectrogram x(d (8) (6)重复(2)~(5)，直至得到所有频率成分f() 所对应分量x,()的时频分布TFR[x:]: 其中，相位函数s()可以由瞬时频率f()积分得到，而 (7)依据各分量的时频分布TFR[x,],即可得到原 瞬时频率f(t)可由STFT或其他自适应时频分析方法 分析得到.虽然估计瞬时频率∫(t)的过程中会产生一 始信号的时频分布TFR[]=∑TFR[x] 定的误差，从而导致广义解调后的信号不是严格平稳 的，但是其时频分布总体上是平行于时间轴的，即 2 仿真信号分析 ()≈0.由于f(）≈0，减少了调制项的干扰，所以选 为了验证IG-STFT在行星齿轮箱齿轮故障诊断中 取广义解调作为STT的预处理步骤，为得到具备良 的可行性，分析下式所示的行星齿轮箱太阳轮故障仿 好能量聚集性的时频分布提供了可能. 真信号， 1.3方法的提出 STT在分析接近时不变的信号时可以得到能量 sigo={1-cos[2πJ0d]} 聚集性很好的时频分布，但在分析瞬时频率时变信号 {1+Acos[2m()d+中]}cos{2π∫E()d+ 时，由于调制系数的存在，会产生很强的调制作用，使 其能量扩散到周围区域而降低了时频图的可读性.广 Bsin [2f.()d+o+() (9) 义解调可以实现信号从非平稳到近似平稳的过渡，将 式中，()为太阳轮转频，∫()为太阳轮故障特征频 瞬时频率时变的信号转化为频率恒定的信号.综合 率，(t)为啮合频率，初相位中=0=0，幅值调制系数 上述分析，提出了IG-STFT,以减小调制系数对STFT A=1.4,频率调制系数B=0.05.为了模拟实际测试 时频分布的影响，提高时频图的可读性.具体步骤 环境中背景噪声的影响，在仿真信号中加入信噪比为 如下： 0dB的高斯白噪声().同时令太阳轮转频⊙(t)= (1)运用STFT等自适应时频分析方法分析信号 -12.92+20t+12以模拟行星齿轮箱非平稳运行工 中主导频率的变化趋势，提取时频脊线得到各频率成 况.信号采样频率为2048Hz,采样时间为1.5s. 分近似的瞬时频率广，()： 由式(9)推导得到信号中包含的9个时变频率成 (2)对瞬时频率广()进行积分，构造出相位函数 分f4=∫n∫∫0+∫m小6=∫n∫+∫m-g=∫n± s,(0=「旷()-]d,进而得到包含相位函数的信 +fw6=∫+fm其中，=(503)0，f= 号x,(t)e~卫，@，其使得单分量x:(t)的瞬时频率近似 (10/3)fr =0.05cos(2f.dt)f.. 地围绕恒定值。较小地波动(。的取值小于信号的采 太阳轮故障仿真信号的分析结果如图2所示，其 样频率一半即可) 时域波形及Fourier频谱如图2(a)和(b)所示.进一 (3)利用滤波器滤出瞬时频率围绕。波动的准 步运用STFT及IG-STFT分析上述仿真信号并得到其 平稳信号x,()e卫@： 时频分析结果如图2(c)和(d)所示.在图2(c)中，可 (4)运用STFT分析单分量x,(t)e~P,0的时频 见在主导频率周围存在较强的调制作用，且受噪声影 分布： 响较大，甚至在初始及末了阶段出现了不同频率成分 (5)依据估计得到的瞬时频率∫(t）与滤波器中 之间交叉重叠的现象.在图2(d)中，存在明显的9个 心频率。的差值()=f(）-。对时频图重新排布， 主导频率成分时变趋势，故所提出的方法有效避免了 即可得到单分量x:(t)真实的时频分布TFR[]: 交叉项、背景噪声及调制系数的影响

工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 图 1 仿真信号分析结果． ( a) 实际时频分布; ( b) STFT 时频分布 Fig． 1 Analysis results of simulation signal: ( a) true spectrogram; ( b) STFT spectrogram XG ( f) = ∫ +∞ －∞ x( t) e － j2π［f( t) t + s( t) ］dt． ( 8) 其中，相位函数 s( t) 可以由瞬时频率 f( t) 积分得到，而 瞬时频率 f( t) 可由 STFT 或其他自适应时频分析方法 分析得到． 虽然估计瞬时频率 f( t) 的过程中会产生一 定的误差，从而导致广义解调后的信号不是严格平稳 的，但是其时频分布总体上是平行于时间轴的，即 f'i ( t) ≈0． 由于 f'i ( t) ≈0，减少了调制项的干扰，所以选 取广义解调作为 STFT 的预处理步骤，为得到具备良 好能量聚集性的时频分布提供了可能． 1. 3 方法的提出 STFT 在分析接近时不变的信号时可以得到能量 聚集性很好的时频分布，但在分析瞬时频率时变信号 时，由于调制系数的存在，会产生很强的调制作用，使 其能量扩散到周围区域而降低了时频图的可读性． 广 义解调可以实现信号从非平稳到近似平稳的过渡，将 瞬时频率时变的信号转化为频率恒定的信号． 综合 上述分析，提出了 IG-STFT，以减小调制系数对 STFT 时频分布的影响，提高时频图的可读性． 具 体 步 骤 如下: ( 1) 运用 STFT 等自适应时频分析方法分析信号 中主导频率的变化趋势，提取时频脊线得到各频率成 分近似的瞬时频率 ^ fi ( t) ; ( 2) 对瞬时频率 ^ fi ( t) 进行积分，构造出相位函数 si ( t) = ∫［^ fi ( t) － f0］dt，进而得到包含相位函数的信 号 xi ( t) e － j2πsi ( t) ，其使得单分量 xi ( t) 的瞬时频率近似 地围绕恒定值 f0 较小地波动( f0 的取值小于信号的采 样频率一半即可) ; ( 3) 利用滤波器滤出瞬时频率围绕 f0 波动的准 平稳信号 xi ( t) e － j2πsi ( t) ; ( 4) 运用 STFT 分析单分量 xi ( t) e － j2πsi ( t) 的时频 分布; ( 5) 依据估计得到的瞬时频率 ^ fi ( t) 与滤波器中 心频率 f0 的差值 v( t) = ^ fi ( t) － f0 对时频图重新排布， 即可得到单分量 xi ( t) 真实的时频分布 TFＲ［xi］; ( 6) 重复( 2) ～ ( 5) ，直至得到所有频率成分^ fi ( t) 所对应分量 xi ( t) 的时频分布 TFＲ［xi］; ( 7) 依据各分量的时频分布 TFＲ［xi］，即可得到原 始信号的时频分布 TFＲ［x］= ∑ K i = 1 TFＲ［xi ］． 2 仿真信号分析 为了验证 IG-STFT 在行星齿轮箱齿轮故障诊断中 的可行性，分析下式所示的行星齿轮箱太阳轮故障仿 真信号， sig( t) { [ = 1 － cos 2π ∫f ( r) s ( t) dt ] } { · 1 + A [ cos 2π ∫fs( t) dt +  ] } cos 2{ π ∫fm ( t) dt + B [ sin 2π ∫fs( t) dt + θ ] } + ζ( t) ． ( 9) 式中，f ( r) s ( t) 为太阳轮转频，fs( t) 为太阳轮故障特征频 率，fm ( t) 为啮合频率，初相位  = θ = 0，幅值调制系数 A = 1. 4，频率调制系数 B = 0. 05． 为了模拟实际测试 环境中背景噪声的影响，在仿真信号中加入信噪比为 0 dB 的高斯白噪声 ζ( t) ． 同时令太阳轮转频 f ( r) s ( t) = － 12. 9t 2 + 20t + 12 以模拟行星齿轮箱非平稳运行工 况． 信号采样频率为 2048 Hz，采样时间为 1. 5 s． 由式( 9) 推导得到信号中包含的 9 个时变频率成 分: f1 － 4 = fm ± fs ± f ( r) s + fFM，f5 － 6 = fm ± fs + fFM，f7 － 8 = fm ± f ( r) s + fFM，f9 = fm + fFM ． 其 中，fm = ( 50 /3 ) f ( r) s ，fs = ( 10 /3) f ( r) s ，fFM ( = 0. 05cos 2π ∫fsd ) t fs． 太阳轮故障仿真信号的分析结果如图 2 所示，其 时域波形及 Fourier 频谱如图 2( a) 和( b) 所示． 进一 步运用 STFT 及 IG-STFT 分析上述仿真信号并得到其 时频分析结果如图 2( c) 和( d) 所示． 在图 2( c) 中，可 见在主导频率周围存在较强的调制作用，且受噪声影 响较大，甚至在初始及末了阶段出现了不同频率成分 之间交叉重叠的现象． 在图 2( d) 中，存在明显的 9 个 主导频率成分时变趋势，故所提出的方法有效避免了 交叉项、背景噪声及调制系数的影响． · 606 ·

张东等：迭代广义短时Fourier变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 ·607 10 0.4m a b 0.3 02/ 0.1 0.5 1.0 .5 100 200 300 400 500 时间s 频案Hz 幅值 幅值 500 500 (e) d f±f±f+f 400 400 20 300 300 200 10 200 100 ± /tw ±了w 0.20.40.60.81.012 14 0.20.40.60.81.012 1.4 时间s 时间/s 图2行星齿轮箱太阳轮故障仿真信号分析结果.(a)时域波形；(b)Fourier频谱：(c)STFT时频分布：(d)IG-STFT时频分布 Fig.2 Simulation signal of a planetary gearbox with a sun gear fault:(a)time domain waveform:(b)Fourier spectrum:(c)STFT spectrogram: (d)IG-STFT spectrogram 3实验信号分析 某一个齿上加工了局部式缺陷模拟局部剥落故障，如 图4所示.信号采样频率为20kHz,采样时间为4.5s, 3.1实验说明 并由磁粉制动器施加16.3N·m的负荷.实验中电动 该实验在加拿大Ottawa大学机械工程系完成.实 机转频fa从60Hz逐渐降至40Hz左右，故第一级和第 验装置如图3所示，由电动机、两级行星齿轮箱、定轴 二级行星齿轮箱的最高啮合频率分别为222.2Hz和 齿轮箱、转速计、加速度传感器和磁粉制动器构成.依 48.6Hz.实验中共测试得到三组振动信号：（1)正常 据齿轮箱各齿轮参数如表1及电动机转频∫，计算得 状态：(2)第一级行星齿轮箱太阳轮分布式缺陷：(3) 到各级行星齿轮箱各齿轮故障特征频率如表2所示， 第二级行星齿轮箱太阳轮局部式缺陷.为了降低计算 表中∫()f()和∫，()分别为太阳轮、行星轮和齿圈 量提高分析效率，对原始信号进行重采样，重采样后信 故障特征频率.为了模拟太阳轮磨损和局部剥落故 号的采样频率为1000Hz(针对第一级行星齿轮箱)和 障，分别在第一级行星齿轮箱的太阳轮上加工了分布 160Hz(针对第二级行星齿轮箱)，分别覆盖了两级行 式缺陷模拟磨损故障，在第二级行星齿轮箱太阳轮的 星齿轮箱齿轮的1.5倍啮合频率，以保证重采样后信 号中包含充足的故障信息 表1齿轮箱主要参数 Table 1 Main parameters of gearboxes 齿数 齿轮箱 第一级 第二级 输入轴 32 定轴齿轮箱 中间轴 80 40 输出轴 合 齿图 100 100 行星齿轮箱 行星轮（个数） 40(4) 36(4) 图3实验装置.(1)电动机：(2)转速计：(3)定轴齿轮箱：(4) 太阳轮 20 28 第一级行星齿轮箱：(5)加速度传感器：(6)第二级行星齿轮箱： (7)磁粉制动器 3.2信号分析 Fig.3 Experimental rig:(1)motor:(2)tachometer:(3)fixed- 3.2.1正常状态 shaft gearbox:(4)planetary gearbox stage 1:(5)accelerometers: 行星齿轮箱正常状态下振动信号的分析结果如 (6)planetary gearbox stage 2:(7)magnetic brake 图5所示.虽在其Fourier频谱如图5(b)中存在多个

张 东等: 迭代广义短时 Fourier 变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 图 2 行星齿轮箱太阳轮故障仿真信号分析结果． ( a) 时域波形; ( b) Fourier 频谱; ( c) STFT 时频分布; ( d) IG-STFT 时频分布 Fig． 2 Simulation signal of a planetary gearbox with a sun gear fault: ( a) time domain waveform; ( b) Fourier spectrum; ( c) STFT spectrogram; ( d) IG-STFT spectrogram 3 实验信号分析 3. 1 实验说明 该实验在加拿大 Ottawa 大学机械工程系完成． 实 图 3 实验装置． ( 1) 电动机; ( 2) 转速计; ( 3) 定轴齿轮箱; ( 4) 第一级行星齿轮箱; ( 5) 加速度传感器; ( 6) 第二级行星齿轮箱; ( 7) 磁粉制动器 Fig． 3 Experimental rig: ( 1) motor; ( 2 ) tachometer; ( 3) fixed￾shaft gearbox; ( 4 ) planetary gearbox stage 1; ( 5 ) accelerometers; ( 6) planetary gearbox stage 2; ( 7) magnetic brake 验装置如图 3 所示，由电动机、两级行星齿轮箱、定轴 齿轮箱、转速计、加速度传感器和磁粉制动器构成． 依 据齿轮箱各齿轮参数如表 1 及电动机转频 fd，计算得 到各级行星齿轮箱各齿轮故障特征频率如表 2 所示， 表中 fs( t) 、fp ( t) 和 fr ( t) 分别为太阳轮、行星轮和齿圈 故障特征频率． 为了模拟太阳轮磨损和局部剥落故 障，分别在第一级行星齿轮箱的太阳轮上加工了分布 式缺陷模拟磨损故障，在第二级行星齿轮箱太阳轮的 某一个齿上加工了局部式缺陷模拟局部剥落故障，如 图 4 所示． 信号采样频率为 20 kHz，采样时间为 4. 5 s， 并由磁粉制动器施加 16. 3 N·m 的负荷． 实验中电动 机转频 fd 从 60 Hz 逐渐降至 40 Hz 左右，故第一级和第 二级行星齿轮箱的最高啮合频率分别为 222. 2 Hz 和 48. 6 Hz． 实验中共测试得到三组振动信号: ( 1) 正常 状态; ( 2) 第一级行星齿轮箱太阳轮分布式缺陷; ( 3) 第二级行星齿轮箱太阳轮局部式缺陷． 为了降低计算 量提高分析效率，对原始信号进行重采样，重采样后信 号的采样频率为 1000 Hz( 针对第一级行星齿轮箱) 和 160 Hz( 针对第二级行星齿轮箱) ，分别覆盖了两级行 星齿轮箱齿轮的 1. 5 倍啮合频率，以保证重采样后信 号中包含充足的故障信息． 表 1 齿轮箱主要参数 Table 1 Main parameters of gearboxes 齿轮箱 齿数 第一级 第二级 定轴齿轮箱 输入轴 32 — 中间轴 80 40 输出轴 — 72 行星齿轮箱 齿圈 100 100 行星轮( 个数) 40( 4) 36( 4) 太阳轮 20 28 3. 2 信号分析 3. 2. 1 正常状态 行星齿轮箱正常状态下振动信号的分析结果如 图 5 所示． 虽在其Fourier频谱如图5 ( b ) 中 存 在 多 个 · 706 ·

·608 工程科学学报，第39卷，第4期 表2行星齿轮箱故障特征频率 峰值，但由于行星齿轮箱工作于非平稳工况下，故无法 Table 2 Fault characteristic frequencies of planetary gearbox 根据边带判断行星齿轮箱是否存在故障及故障出现的 级数 人()/H f()压 f()/H 位置.分别对重采样后不同频率范围的信号运用 1 (20/27)fa (5/54)f (4/27)fa STFT分析，得到其时频图如图5(c)和(e)所示，并估 2 (175/1512)fa (1757776)f (175/5400)f 计出其中主导频率的变化趋势.进一步地，IG-STFT的 分析结果如图5(d)和()所示.图5(d)中主导频率成 (a) 分依次为第一级行星齿轮箱齿轮啮合频率∫m、太阳轮 转频及故障特征频率∫a的组合频率∫m-∫和+ 2-州.而图5(0中主导频率分别为：电动机转频 和第一级行星齿轮箱太阳轮转频°.图5()和() 中，虽然各主导频率与第一级行星齿轮箱太阳轮相关， 但是其幅值相对较小，且在啮合频率∫，附近不存在明 显的调制边带.由于齿轮箱实际制造和装配过程中难 免会存在一定的误差，导致上述主导频率成分的存在， 图4太阳轮损伤.(a)太阳轮分布式故障：(b)太阳轮局部式 故判定齿轮箱不存在故障，与实际情况相符 故障 3.2.2太阳轮磨损 Fig.4 Sun gear damage:(a)sun gear distributed fault:(b)sun 第一级行星齿轮箱太阳轮磨损故障信号的分析 gear localized fault 结果如图6所示.虽在其Fourier频谱如图6(b)中出 0.04r (a) 0.02 nnWMW 4 0.02 0.04 100 200 300 400 500 时间s 频率Hz 幅值 幅值 500 ■004 500 d ■0.03 400 +2= 400 +2-f8 0.03 300 0.02 20 ≤200 0.02 0.01 100 2 0.01 2 时间/s 时间s 幅值/10 幅值/10 80 e ) 40 时间s 时间s 图5正常状态分析结果.(a)时域波形：(b)Fourier频谱：(c)STFT时频分布(0~500Hz):(d)IG-STFT时颍分布(0~500Hz):(e) STFT时频分布(0~80Hz)：(0 IG-STFT时频分布(0~80Hz) Fig.5 Normal signal analysis results:(a)time domain waveform:(b)Fourier spectrum:(c)STFT spectrogram (0-500 Hz):(d)IG-STFT spectrogram (0-500 Hz)(e)STFT spectrogram (0-80 Hz):(f)IG-STFT spectrogram (0-80 Hz)

工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 表 2 行星齿轮箱故障特征频率 Table 2 Fault characteristic frequencies of planetary gearbox 级数 fs( t) /Hz fp ( t) /Hz fr ( t) /Hz 1 ( 20 /27) fd ( 5 /54) fd ( 4 /27) fd 2 ( 175 /1512) fd ( 175 /7776) fd ( 175 /5400) fd 图 4 太阳轮损伤． ( a) 太阳轮分布式故障; ( b) 太阳轮局部式 故障 Fig． 4 Sun gear damage: ( a) sun gear distributed fault; ( b) sun gear localized fault 图 5 正常状态分析结果． ( a) 时域波形; ( b) Fourier 频谱; ( c) STFT 时频分布( 0 ～ 500 Hz) ; ( d) IG-STFT 时频分布( 0 ～ 500 Hz) ; ( e) STFT 时频分布( 0 ～ 80 Hz) ; ( f) IG-STFT 时频分布( 0 ～ 80 Hz) Fig． 5 Normal signal analysis results: ( a) time domain waveform; ( b) Fourier spectrum; ( c) STFT spectrogram ( 0 － 500 Hz) ; ( d) IG-STFT spectrogram ( 0 － 500 Hz) ; ( e) STFT spectrogram ( 0 － 80 Hz) ; ( f) IG-STFT spectrogram ( 0 － 80 Hz) 峰值，但由于行星齿轮箱工作于非平稳工况下，故无法 根据边带判断行星齿轮箱是否存在故障及故障出现的 位置． 分别对重采样后不同频率范围的信号运用 STFT 分析，得到其时频图如图 5( c) 和( e) 所示，并估 计出其中主导频率的变化趋势． 进一步地，IG-STFT 的 分析结果如图5( d) 和( f) 所示． 图5( d) 中主导频率成 分依次为第一级行星齿轮箱齿轮啮合频率 fm1、太阳轮 转频 f ( r) s1 及故障特征频率 fs1的组合频率: fm1 － fs1和fm1 + 2fs1 － f ( r) s1 ． 而图 5( f) 中主导频率分别为: 电动机转频 fd 和第一级行星齿轮箱太阳轮转频 f ( r) s1 ． 图 5( d) 和( f) 中，虽然各主导频率与第一级行星齿轮箱太阳轮相关， 但是其幅值相对较小，且在啮合频率 fm1附近不存在明 显的调制边带． 由于齿轮箱实际制造和装配过程中难 免会存在一定的误差，导致上述主导频率成分的存在， 故判定齿轮箱不存在故障，与实际情况相符． 3. 2. 2 太阳轮磨损 第一级行星齿轮箱太阳轮磨损故障信号的分析 结果如图 6 所示． 虽在其 Fourier 频谱如图 6( b) 中出 · 806 ·

张东等：迭代广义短时Fourier变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 609* 现了多个峰值，但同样无法判断齿轮箱的工作状态。 .以上频率成分均与第一级行星齿轮箱相关，且 其STT分析结果如图6(c)所示，其中虽然存在数 在第一级行星齿轮箱的啮合频率∫的两侧出现了与 条时频曲线，但受噪声及调制系数的影响较大.进一 第一级行星齿轮箱太阳轮相关的调制边带，故认为 步运用IG-STFT分析得到如图6(d)所示的时频图. 第一级行星齿轮箱的太阳轮出现了故障，与实验设 可见其主导频率依次为第一级行星齿轮箱齿轮啮合 置条件相符. 频率∫1、太阳轮转频州及故障特征频率∫的组合频 3.2.3太阳轮局部剥落 率：f+3fJm+2f-、∫mfm-f和fa-2- 图7为第二级行星齿轮箱太阳轮局部剥落故障信 0.04 1.5 a 0.02 1.0 0 05 0.02 0.04 2 100 200 300 400 500 时间s 频率Hz 幅值 幅值 500 500 f+3新 d 0.06 m+3新 400 400 人+24 0.08 0.05 300 300 0.04 0.06 0.03 ≤200 0.04 100 100 -2f 0.02 fna f- fc 0.02 0 1 3 0.01 0 2 时间s 时间/s 图6 太阳轮磨损振动信号分析结果.(a)时域波形：(b)Fourier频谱：(c)STT时频分布：(d)IG-STFT时频分布 Fig.6 Analysis results of sun gear worn vibration signal:(a)time-domain waveform:(b)Fourier spectrum:(c)STFT spectrogram:(d)IG-STFT spectrogram a） b 0.010 0.005 2 0.005 -0.010 20 40 60 0 时间s 领率Hz 幅值 幅值 0.04 80 ■0.04 +2 d f+25a 0.03 60 0.03 40 0.02 40 0.02 f-3f9-2 0.01 20 f-3f-2 0.01 3 3 时间/s 时间/s 图7太阳轮剥落振动信号分析结果.(a)时域波形：(b)Fourier频谱：(c)STT时频分布：(d)IG-STFT时频分布 Fig.7 Analysis results of sun gear chipping vibration signal:(a)time-domain waveform:(b)Fourier spectrum:(c)STFT spectrogram:(d)IG- STFT spectrogram

张 东等: 迭代广义短时 Fourier 变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 现了多个峰值，但同样无法判断齿轮箱的工作状态． 其 STFT 分析结果如图 6 ( c) 所示，其中虽然存在数 条时频曲线，但受噪声及调制系数的影响较大． 进一 步运用 IG-STFT 分析得到如图 6 ( d) 所示的时频图． 可见其主导频率依次为第一级行星齿轮箱齿轮啮合 频率 fm1、太阳轮转频 f ( r) s1 及故障特征频率 fs1的组合频 率: fm1 + 3fs1、fm1 + 2fs1 － f ( r) s1 、fm1、fm1 － fs1 和 fm1 － 2fs1 － f ( r) s1 ． 以上频率成分均与第一级行星齿轮箱相关，且 在第一级行星齿轮箱的啮合频率 fm1的两侧出现了与 第一级行星齿轮箱太阳轮相关的调制边带，故认为 第一级行星齿轮箱的太阳轮出现了故障，与实验设 置条件相符． 3. 2. 3 太阳轮局部剥落 图 7 为第二级行星齿轮箱太阳轮局部剥落故障信 图 6 太阳轮磨损振动信号分析结果． ( a) 时域波形; ( b) Fourier 频谱; ( c) STFT 时频分布; ( d) IG-STFT 时频分布 Fig． 6 Analysis results of sun gear worn vibration signal: ( a) time-domain waveform; ( b) Fourier spectrum; ( c) STFT spectrogram; ( d) IG-STFT spectrogram 图 7 太阳轮剥落振动信号分析结果． ( a) 时域波形; ( b) Fourier 频谱; ( c) STFT 时频分布; ( d) IG-STFT 时频分布 Fig． 7 Analysis results of sun gear chipping vibration signal: ( a) time-domain waveform; ( b) Fourier spectrum; ( c) STFT spectrogram; ( d) IG￾STFT spectrogram · 906 ·

610 工程科学学报，第39卷，第4期 号的分析结果.在Fourier频谱如图7(b)中，电动机转 Vold-Kalman filter and higher order energy separation for fault di- 频的初始频率60Hz处出现了明显的峰值，但同样无 agnosis of wind turbine planetary gearbox under nonstationary con- 法判断齿轮箱工作正常与否.STFT和IG-STFT的分析 ditions.Reneuable Energy,2016,85:45 结果如图7(c)和(d)所示.可见时频图中的主导频率 [5]Li C.Liang M.Time-frequency signal analysis for gearbox fault diagnosis using a generalized synchrosqueezing transform.Mech 依次为第二级行星齿轮箱齿轮啮合频率∫、太阳轮故 Syst Signal Process,2012,26:205 障特征频率∫2及转频的组合频率：fe+2f。- [6]Hlawatsch F,Boudreaux-Bartels G.Linear and quadratic time- 38-2f2及电动机转频∫：由于上述频率成分与第二 frequency signal representations.IEEE Signal Process Mag, 级行星齿轮箱太阳轮相关，故判定第二级行星齿轮箱 1992,9(2):21 太阳轮出现故障，与实际情况相符 ]Cohen L Time-frequeney distributions:a review.Proc IEEE, 1989,77(7):941 4结论 [8]Chen X W,Feng Z P,Liang M.Planetary gearbox fault diagnosis under timevariant conditions based on iterative generalized syn- 本文在充分发挥ST℉T和广义解调优势的基础 chrosqueezing transform.J Mech Eng,2015,51(1)131 上，运用迭代广义解调对STT进行了改造，提出了迭 (陈小旺，冯志鹏，山ANG Ming.基于迭代广义同步压缩变换 代广义短时Fourier变换，达到在分析非平稳信号的过 的时变工祝行星齿轮箱故障诊断.机械工程学报，2015,51 程中得到能量聚集性很好的时频分布的目的.最后， (1):131) 运用迭代广义短时Fourier变换分析了行星齿轮箱太 9]Martin W,Flandrin P.Wigner-Ville spectral analysis of nonsta- tionary processes.IEEE Trans Acoust Speech Signal Process, 阳轮故障仿真信号及实验信号，分析结果表明该方法 1985,33(6):1461 可以准确刻画非平稳信号的时变特征和诊断齿轮故 [10]Yu G,Zhou Y Q.General linear chirplet transform.Mech Syst 障，验证了所提出方法的有效性 Signal Process,2016,70:958 [11]Cheng J S,Yang Y,Yu D J.The envelope order speetrum based 参考文献 on generalized demodulation time-frequency analysis and its ap- plication to gear fault diagnosis.Mech Syst Signal Process,2010, [1]Tian SS,Qian Z.Planetary gearbox fault feature enhancement 24(2):508 based on combined adaptive filter method.Adr Mech Eng,2015, 12]Li C,Liu Z X,Zhou F X,et al.Application of generalized de- 7(12):1 modulation in bearing fault diagnosis of inverter fed induction mo- 2]Lei Y G,He Z J,Lin J,et al.Research advances of fault diagno- tors /Proceeding of the 11th World Congress on Intelligent Con- sis technique for planetary gearboxes.J Mech Eng,2011,47 trol and Automation IEEE.Shenyang,2014:2328 (19):59 3] Wang Y,Xu G H,Luo A L,et al.An online tacholess order (雷亚国，何正嘉，林京，等.行星齿轮箱故障诊断技术的研 tracking technique based on generalized demodulation for rolling 究进展.机械工程学报，2011,47(19)：59) bearing fault detection.J Sound Vib,2016,367:233 3]Feng Z P,Fan YX,Liang M,et al.A nonstationary vibration [14]Olhede S,Walden A T.A generalized demodulation approach to signal analysis method for fault diagnosis of planetary gearboxes time-frequency projections for multicomponent signals.Proc Proc CSEE,2013,33(17):105 Math Phys Eng Sci,2005,461(2059):2159 (冯志鹏，范寅夕，LIANG Ming,等.行星齿轮箱故障诊断的 [15]Cheng J S,Yang Y,Yu D J.Application of the improved gener- 非平稳振动信号分析方法.中国电机工程学报，2013,33 alized demodulation time-frequency analysis method to multi- (17):105) component signal decomposition.Signal Process,2009,89(6): 4]Feng Z P,Qin S F,Liang M.Time-frequeney analysis based on 1205

工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 号的分析结果． 在 Fourier 频谱如图 7( b) 中，电动机转 频的初始频率 60 Hz 处出现了明显的峰值，但同样无 法判断齿轮箱工作正常与否． STFT 和 IG-STFT 的分析 结果如图 7( c) 和( d) 所示． 可见时频图中的主导频率 依次为第二级行星齿轮箱齿轮啮合频率 fm2、太阳轮故 障特征频率 fs2 及转频 f ( r) s2 的组合频率: fm2 + 2fs2、fm2 － 3f ( r) s2 － 2fs2及电动机转频 fd ． 由于上述频率成分与第二 级行星齿轮箱太阳轮相关，故判定第二级行星齿轮箱 太阳轮出现故障，与实际情况相符． 4 结论 本文在充分发挥 STFT 和广义解调优势的基础 上，运用迭代广义解调对 STFT 进行了改造，提出了迭 代广义短时 Fourier 变换，达到在分析非平稳信号的过 程中得到能量聚集性很好的时频分布的目的． 最后， 运用迭代广义短时 Fourier 变换分析了行星齿轮箱太 阳轮故障仿真信号及实验信号，分析结果表明该方法 可以准确刻画非平稳信号的时变特征和诊断齿轮故 障，验证了所提出方法的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Tian S S，Qian Z． Planetary gearbox fault feature enhancement based on combined adaptive filter method． Adv Mech Eng，2015， 7( 12) : 1 ［2］ Lei Y G，He Z J，Lin J，et al． Ｒesearch advances of fault diagno￾sis technique for planetary gearboxes． J Mech Eng，2011，47 ( 19) : 59 ( 雷亚国，何正嘉，林京，等． 行星齿轮箱故障诊断技术的研 究进展． 机械工程学报，2011，47( 19) : 59) ［3］ Feng Z P，Fan Y X，Liang M，et al． A nonstationary vibration signal analysis method for fault diagnosis of planetary gearboxes． Proc CSEE，2013，33( 17) : 105 ( 冯志鹏，范寅夕，LIANG Ming，等． 行星齿轮箱故障诊断的 非平稳振动信号分析方法． 中 国 电 机 工 程 学 报，2013，33 ( 17) : 105) ［4］ Feng Z P，Qin S F，Liang M． Time--frequency analysis based on Vold-Kalman filter and higher order energy separation for fault di￾agnosis of wind turbine planetary gearbox under nonstationary con￾ditions． Ｒenewable Energy，2016，85: 45 ［5］ Li C，Liang M． Time--frequency signal analysis for gearbox fault diagnosis using a generalized synchrosqueezing transform． Mech Syst Signal Process，2012，26: 205 ［6］ Hlawatsch F，Boudreaux-Bartels G． Linear and quadratic time-- frequency signal representations． IEEE Signal Process Mag， 1992，9( 2) : 21 ［7］ Cohen L． Time--frequency distributions: a review． Proc IEEE， 1989，77( 7) : 941 ［8］ Chen X W，Feng Z P，Liang M． Planetary gearbox fault diagnosis under time-variant conditions based on iterative generalized syn￾chrosqueezing transform． J Mech Eng，2015，51( 1) : 131 ( 陈小旺，冯志鹏，LIANG Ming． 基于迭代广义同步压缩变换 的时变工况行星齿轮箱故障诊断． 机械工程学报，2015，51 ( 1) : 131) ［9］ Martin W，Flandrin P． Wigner-Ville spectral analysis of nonsta￾tionary processes． IEEE Trans Acoust Speech Signal Process， 1985，33( 6) : 1461 ［10］ Yu G，Zhou Y Q． General linear chirplet transform． Mech Syst Signal Process，2016，70: 958 ［11］ Cheng J S，Yang Y，Yu D J． The envelope order spectrum based on generalized demodulation time--frequency analysis and its ap￾plication to gear fault diagnosis． Mech Syst Signal Process，2010， 24( 2) : 508 ［12］ Li C，Liu Z X，Zhou F X，et al． Application of generalized de￾modulation in bearing fault diagnosis of inverter fed induction mo￾tors / / Proceeding of the 11th World Congress on Intelligent Con￾trol and Automation IEEE． Shenyang，2014: 2328 ［13］ Wang Y，Xu G H，Luo A L，et al． An online tacholess order tracking technique based on generalized demodulation for rolling bearing fault detection． J Sound Vib，2016，367: 233 ［14］ Olhede S，Walden A T． A generalized demodulation approach to time-- frequency projections for multicomponent signals． Proc Math Phys Eng Sci，2005，461( 2059) : 2159 ［15］ Cheng J S，Yang Y，Yu D J． Application of the improved gener￾alized demodulation time--frequency analysis method to multi￾component signal decomposition． Signal Process，2009，89( 6) : 1205 · 016 ·