线性多回路反馈网络的N口统一参数理论

D0I:10.13374/i.issm1001053x.1979.01.011 线性多回路反馈网络的N口统一参数理论 自动化系基础教研空黄汝激 摘 要 本文提出了N口线性网络的统一参数概念和统一参数理论。应川这个理论研究了一般线 性多问路反馈网绍的问归卷矩库与零间门养矩阵，导：它们与网络的统一参数矩阵：之间的关 系，並将1 ack man方程推广到从…口集御分-门集的传递矩陈的情况，从而建立了线性多 回路反馈网络的N口统…参数刚论。这个理论的…个典刊应用是解决了一般复介反馈放大器 的理论分析问题。 线性多回路反馈网络现论是现代网络理论的-一个重要方面。它在无线电电子学和自动控 制系统工程中都有重要的应切。 反馈网络理论中有两个重要的5本概仓：回归差零回归差。它们决定着反馈网络的激 励点特性、传输特性、稳定性和灵敏度等。Bod〔1)首先引进了二端元件的回归差概念，並 用它分析了线性反馈放大器。Jose R.Cruz,Jr.〔2)从网络的方框图出发，应用讯号流程 图的观点和方法定义了问归差矩阵和零可妈差矩阵，並导出了它们与反馈网络传递函数的关 系。它把Bode关于单个元件的单回路反馈理论推广到关于多个受控源的多回路反馈理论。 过去关于反馈网络理论的文献：本上都是应用方块图分析法或讯号流程图分析法。但 是，多回路反馈网络往往比较复杂，要直接画出反馈方块图或讯号流程图和写出传递函数往 往比较困难。 实际上，对于电网络，比较成熟和熟悉的分析方法是N口网络论。因此，比较合理盈 应该是直接应口网络理论来研究多回路反馈网络。 一、N口线性网络的統一参数理論 ?研究几个n口网络五相联接的情况时，为了使研究结果具有普遍性起见，作者建议把 每-…个门的-·对电E、电流变量加以抽象化，即规定每一个口具有一个由二个变景组成的有 序的交量偶，称为口变量偶（u1,”,),1=1,2…n为口的号码。1称为主变魔，w,称 为付变量。规定主、付变量具有下列属性。？二个口网络互相联接儿按到信号源上时，它 们的对应口（同号口）的主变量是相加的，其和等于信号源的主变量，付变量则是相等的， 1等于信号源的付变量。当儿只当知道二个口网络与信号源之间的具体联接形式时，才能 具体确定每一个口的主、付变量当中，那一个是电压，那一个是电流。主、付变量的确定原 则如下： 125

线性多回路反馈网络的 口 统一参数理论 自动化 系基 础 教研 室 黄汝激 摘 要 术 文提 出 了 口 线 性网络 的统 一 参数概 念和 统 一 参数瑰论 。 应 用这个理 论研 究 了一 般 线 性多回 路反 馈 网绍 的 回 归 差 矩 阵 与零 回 归 差矩 阵 ， 导 出它们 与网络 的统一 参数 矩 阵 之 问的关 系 ， 业将 亏 方程推广 到从 一 口 集 刘 另一 」集 的 传递矩 阵 的情 况 ， 从而建 立 了线 性 多 回路 反馈 网络的 日 统 一 参数 理 论 。 这 个理 论 的一 个典 型 应 用是解 决 了 ， 一 般 复合 反 馈放 大 器 的理论 分 析 问题 。 线 性多回 路反 馈 网络理 沦是 现代网 络理论 的一 个爪要 方 面 。 它 在无线 电电子 学 和 自动控 制 系统 工 程 中都有 重 要 的应 明 。 反 馈网络理 论 中有 两个重 要 的从 才、 概 念 回归差 和零 回归差 。 它们决定 着反 馈网络 的激 励 点特性 、 传输特性 、 稳 定性和灵 敏 度 等 。 〔约 首先 引进 了二 端元 件的 回 归差概 念 ， 亚 用它分析 了线 性反 馈 放 大器 。 ， 〔 〕 从 网 络 的方 框 图出发 ， 应 用 讯 号 流程 图的观 点和方 法定义 一 了回归差 矩 阵 和零 回归差 矩 阵 ， 业 导 出 了它们 与反 馈 网络传递 函数 的关 系 。 它 把 关 于单 个元件的单回 路反 馈理 论 推广 到关 于多个 受 控 源 的 多回路反 馈理 论 。 过 去 关 于反 馈 网络 理 论 的文献 康 术 土都 是应 用方块 图 分析法 或 讯号 流程 图分 析 法 。 但 是 ， 多回路反 馈网络乎 往 比 较复杂 ， 要 直接 画 出反 馈方块 图或讯号 流程 图和 写 出传 递 函 数 往 手犯比较 困难 。 实际 上 ， 对 于 电网 络 ， 比 较成熟和 熟悉 的分析方 法是 口 网络理 论 。 因此 ， 比较 合 理 应 该是直 接应 用 口 网 络理 论来 研究多回路反 馈网 络 。 一 、 「了线 性 网络的统 一 参 数理 箫 当研 究 几个 口 网 络 互相联 接 的情 况 时 一 ， 为了使 研究结 果具有 普遍 性起见 ， 作者建议把 何一 个 「的一 对 电压 、 电 流变 准加 以 抽 象化 ， 即 规定每 一个 口 具有 一 个 由二个 变 录组 成的有 序 的 变量偶 ， 称 为 口 变量 偶 ， 【 ， ， · · … 为 口 的号 码 。 称 为主 变盆 ， 一 、 称 为付 变里 。 规定主 、 付 变量 具有 下 列属 性 。 当二个 口 网络 互相 联 接 一「接 到信号 源 上时 ， ‘ 已 们 的对应 日 同 号口 的主 变 冠是相加 的 ， 其和 等于信 号 源 的主 变 量 付 变量 则是相 等的 ， 生 等 于信 号源 的付 变量 。 当 日 ‘ 只 当知道二 个 口 网 络 与信 号 源之 间的具体联 接 形式 时 ， 刁 能 具 体确定每一个 口 的 主 、 付变 景 当 中 ， 那一 个是 电压 ， 那一个是 电流 。 主 、 付变没 的 确 定原 则如 下 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1979．01．011

1.对于信号源来说，若二对应口是串联的，则主变量是电压，付变量是电流，若是並 吹的，则主变量是电流，付变骚是电压。 2.若某号口没有外接信号源，则该号的二对应口的联接既可设想为联（设想为它们 与口主变量为O的“0”信号源相串联)，也可设想为並联（设想为它们与“O”信号源相並 联)。 设口网络是线性的，它的主、付变量分别用列矩阵（向量）U和W表示。从W到U的 传递矩阵称为网络的统一参数矩阵，记为D,则该口网络具有下列的特性方程。 U=DW (1.1) 在下列四种情况下，统一参数矩阵分别变成了通常的Z、Y、H和G参数师阵： (1)若U=V,W=I,则D=Z一开路阻抗参数矩阵 (1.2) (2)若U=I,W=V,则D=Y一短路导纳参数矩阵 (1.3) nu-w-Lv. 则D=H一一串联一並联参数矩阵 (1.4) wu-[:w-[: 则D=G一一並联一串联参数矩阵(1.5) 式巾V,和I,表示输入口集的电压和电流列矩阵：，V。和I,表示输出口集的电压和电流列矩阵。 二、N口线性反饋网络的回归差矩阵和零回归差矩阵 1.反馈子网络与基本子网络口数相等的情况 讨论一个线性网络内部某一个子网络的反馈作用。为此可把该子网洛拉出来，用一·个方 块表示，如图2,1，称为反馈子网络X,剩下的那部分网络称为基本子网络D。假设二者只通 过+1根导线彼此互联，以及与信号源及负载联接，二者内部都不含独立信号源。这样二者 都是+1端网络。设选取其中的一个端（例如地端）作为公共端，其余n个端的每一个与公 共端各构成一个口，这样二者又都是口网络（注：若某二端内接的是变压器的一个线圈， 或受护的二端元件等流进其一端的电流必等于流出其另一端的电流的情况，则该二端就可组 代一个口，而不必将该二端看成分别与公共端各组成…个口，这样上述二个子网络的口数n 可以减少一些，以简化计算)。 设将n口基本子网络的n个口的集合（简称口集）P内的口按某颗序编号：1,2，…n;並 1分成M个子口集：I,I,…M,即P={1,I,…M}={1,2,…n}。第J号子口集记为J, 它的口数记为n1,则有J={N-1+1,N,-1+2,…,N,-1+n},式中N1-1=n1+n1+… +n-1是前J一I个子口集的总口数。若J=I,则N:-1=N。=0。反馈子网络和总网络的口 的记号分别为在基本子网络的口记号上添上右上标「！S,以资区别，如图2.1。图中每根 线代表一个口集，其旁标明该口集变量偶。 基本子网络、反馈子网络和总网络的口集主、付变量列矩阵和统一参数矩阵分别用U、 U「、U、W、W、Ws和D、X、D(X)表示，並把它们按子口集分块，写成分块矩阵的 形式： 126

对 于信 号源 来说 ， 若 二 对应 口 是 串联 的 ， 则主 变量 是 电压 ， 付 变量 是 电 流 若 是韭 联 的 ， 则主 变量 是 电 流 ， 付 变量 是 电压 。 若 某号 口 没有外接信 号源 ， 则该 号的 二 对应 口 的联 接 既可 设 想 为串联 设想 为它们 与 口 主 变量 为 的 “ ” 信 号源相 串联 ， 也 一 可设 想为业联 设 想 为它们 与 “ ” 信 号源 相 业 联 。 设 口 网 络 是线 性的 ， 它 的主 、 付 变量 分 另 用 列 矩 阵 向量 和 表 示 。 从 到 的 传递矩 阵称 为网 络 的统 一参数 矩 阵 ， 记 为 ， 则 该 口 网络具有 下 列 的特 性方 程 。 二 在下 列 四 种情 况下 ， 统一 参数 矩阵 分 别 变成 了 通常 的 、 、 和 参数 矩 阵 若 ， 二 ， 则 二 － 开 路 阻 抗 参数 矩 阵 若 ， ， 则 二 一一 短路 导 纳 参数 矩 阵 一 门 厂 ， 门 若 ， ， 则 二 － 串联一 业 联 参数 矩 阵 。 。 」 刁 门 若 ， ， 则 二 － 芷 联 一 串联 参 数矩 阵 。 一 。 式 中 ，和 ，表 示 输入 口 集 的 电压 和 电流列矩 阵 ， 。 和 。 表示 输 出 口 集的 电 压 和 电 流列 矩 阵 。 二 、 口 线 性反 蜻 网络 的回 归差矩 阵和零 回 归 差矩 阵 反馈 子 网络 与基本子 网络 口 数 相 等的 情况 讨 论一 个线 性网 络 内部某一 个子 网 络 的反 馈 作 用 。 为此可 把 该 子 网 络 拉 出来 ， 用一 个方 块 表示 ， 如 图 ， 称 为反 馈子 网络 ， 剩下 的那 部分 网络称 为基本子 网络 。 假 设二者只 通 过 根 导线 彼 此 互联 ， 以 及 与信 号源 及 负载联 接 ， 二者 内部都不 含独 立信 号源 。 这样二者 都是 十 端 网络 。 设选取 其 中的一 个端 例 如 地 端 作 为公 共 端 ， 其余 个端 的每一 个与公 共端 各构 成一 个 口 ， 这 样二者 又都 是 口 网络 住 若 某二 端 内接的是 变压 器 的一 个线 圈 ， 或受控 的二 端元 件 等 流进其一 端 的 电流必 等 于流 出其 另一端 的 电流 的情 况 ， 则 该二 端 就 一 可组 成一个 口 ， 而不必 将 该 二 端 看 成分 别 与公 共端 各组 成一 个 口 ， 这 样 上述 二 个子 网络 的 口 数 可 以 减 少一 些 ， 以 简 化计算 。 设将 口 基 本 子 网络 的 个 口 的 集合 简 称 口 集 内的 口 按 某顺序 编 一 号 ， ， … 业 分 成 个子 口 集 ， ， … ， 即 二 ， ， … 二 ， ， … 。 第 号 子 口 集记 为 ， 它 的 口 数记 为 ，， 则有 ，一 ， 一 “ 一 ， … ， 一 ， ， 式 中 一 二 … ，一 工 是前 一 个 子 口 集的总 口 数 。 若 二 ， 则 ，一 。 二 。 。 反 馈子 网络 和 总 网络 的 口 的 记号 分 另 为在基 本子 网 络 的 口 记号 上添 右 上标 和 ， 以 资 区 别 ， 如 图 。 图 中每根 引 线 代 表一个 口 集 ， 其旁 标 明该 口 集 变量偶 。 基 本 子 网 络 、 反 馈子 网 络 和总 网 络 的 口 集主 、 付 变量 列矩 阵和 统一 参数 矩 阵分 别 用 、 、 ， 、 、 ‘ 、 ” 和 、 、 表 示 ， 业 把它们 按 子 口 集分 块 ， 写 成分块矩 阵 的 形式

公10.222 (第5饭5 xi4-()a 学当 (m' m') M4=n 蓬 (in 'jn 冬 可 《mm sm·ny 3 编苏 127

声卜叭 梦、 彗 毕 一 一 叭 斗鲜 一 一 一 一 梦八、 誉 龟一 色 一 、 、 少 夸 、 、 逆 而 味 箭 飞 回辉捌名长筐吹碧叹匕二 ， 一 又 空沈践义试丈 峨韦互次二，工 隔歹 寻丰稼而 匕八女吐卜 血凤俄吟心段 ，了、、、 入义八乙卜岛。 气乙吟全沙建 株朽 几卜户 借 、 誉蓄 矛月 洲， 叭长忿乙仇以 ，毛‘口 昌 岩 二 曰 虱 堑艺 “ 霎联 黔舔 擎 彭 谩 匕 瞥︸洛 叭勺 全八八 、梦 骂

U=〔U,),U=〔U),Us=〔U) (J=I,I,…,M) (2.1) W=W,),W=〔W;),Ws=(W) D=〔D1KJ,X=〔X1x),D(x)=(D1K(x),(J,K=I,I,…M)(2.2) 式巾 U,=〔u),U}=〔u),U；=〔u) j=N-1+1,Nj-i+2,…N,-1+n,) W,=〔w),W=〔w),W=〔w) (2.3) D1K=〔d,g,X1K=〔x1k),D1x(x)=〔dk(x) 小=N-+1,N-+2,,N1+n1） (2.4) k=Nx-1+1,Nx-1+2,Nx-t+nk 统一参数矩阵D的逆矩阵记为 nrn刘 D-I=(D;k)= DTif D…D}n1 DiDi…D n a (2.5) D2D’Dnw 式中 -aA2）e d= dk,--一矩阵D中元素dk1的代数余子式； |D|一矩阵D的行列式。 根据§1关于n口网络的统一参数理论有 U=DW, U r =X W r (2.6) 和 U :=U+U,W=W=W (2.7) 从而 U3=D(X).W3,D(X)=D+X (2.8) 可见：总网络的统一参数矩阵，等于基本子网络的统一参数矩阵与反馈子网络的统一参数矩 阵之和，並且D=D(X)1x=0=D(0)。 定义(1)考察由基本子网络和反馈子网络构成的反馈环路的反馈作用，即考察信号按 下列流程的传输作用： UW+Wr→U「-x(U+U) 128

〔 〕 ， 〕 ， 〕 ， “ 莹〕 ， ， … ， 〕 ， 梦〕 二 〔 〕 ， 二 〕 ， 〕 ， ， ， ， … 式 ‘ ， ， ， 〕 ， 〔 〕 ， 至 穿〕 〔 ， 〕 ， 〔 〕 ， 要“ 了〕 ， · · ， · · ， · · · · 一 〔 ， 〕 ， 〔 〕 ， 〔 〕 一 ， 卜 ， … ， 一 ， 卜 ， ， … 一 卜 、 统一 参数 矩 阵 的逆 矩 阵记 为 兀 产‘ 、 王 、 户创 主 、 盖 、 欠技 工 一 ‘ 〔 ‘ 乏 生 盖 盖 ， 皿 百。 、 ‘ 二、 。 ‘ 碗 … 众盖 ” 护盆、 一 ， 卜 、 ， 式 中 ‘ 二泛 “ 汉 〔“ “ ’ 〕 二 卜 一 ， 一 一 ， … ， ，一、 ， … ， 卜 ‘ · ， ，△ 一 ，“ 一矩 阵 中元 素 ，的代数余 子式 － 矩阵 的行 列式 。 根 据 夸 关 于 口 网络 的统一 参数理 论有 ， 二 不日 从而 二 ， ， 一 ， ， ， 可 见 总 网络 的统一 参数矩阵 ， 阵 之 和 ， 业 且 定义 二 。 等于基 木 子网 络 的统一 参数 矩阵 与反 馈子 网 络 的统一 参数 矩 二 。 考察 由基 本子 网络 和反 馈子 网 络 构 成 的反 馈环路 的反 馈 作用 ， 即考察信 号按 下 列 流程 的传输作用 ， ，

我们把从U到U「的传递矩阵和从U到U=U+Ur的传递矩阵，分别定义为n口网络D(X) 中n口反馈子网络X的回归比矩阵T(X)和回归差矩阵F(X), 即 U=T(X)U (2.9a) Us=U+U=F(X)U (2.9h) 定理(1)若矩阵D是非奇异的(D1+0),则回归比矩阵T(X)、回归差矩阵F(X)与统一参 数矩阵D、X、D(X)之间存在如下关系： M T(X)-XD-(A.C=I.I..M) (2.10a) B=I F(X)=I+T(X)=D(X)·D-1,(I为n阶单位方阵) (2.10h) IF61=P61 (2.10c) 证明： Ur=XWr=XW=XD-IU M T(X)=XD-=(X (D)[XDA.C=1,1..M) B=I 另外， Us=U+U=U+T(X)U=(I+T(X))U .F(X)=I+T(X)=I+XD-1=(D+X)D-1=D(X).D1 证毕。 为了定义零回归差矩阵，先引入矩阵： 了n1…nj-tn)nj1…nM】 0.0 T0.0 i}n1 1*0 00…0}n1 T,= 0…I 00…0}n1-1 0…*…0 0I……0 |}nj1 L00 0 0…IJ}nM 了n1ni…nj-tn11…nM) 0 I…0 0…+…0 }n: 、: 0…I T,1= 0 0*……0 |}n1-1 I 0……0 0*…0 }n1 0 0+*…*0 I……0 I}n11 0 0**……0 0…1J}nM 设图2.1中J号口集为输入口集，K号口集为输出口集。为了把我们关心的输入口集主变量向 量U,和输出口集付变量向量Wk,分别上移到主、付变量列矩阵U和W的最上方，我们用知： 阵T,和Tk对式(2.6)进行变换如下（注意到T,和Tk1中的I代表单位方阵）： 129

我们 把从 到 的传递 矩阵 和 从 到 ’ 的传递 矩阵 ， 分 别定义 为 口 网 络 中 口 反 馈子网络 的回归比矩 阵 和 回归差矩 阵 ， 即 ， 二 定理 若 矩阵 是非奇异 的 等 ， 则 回归 比 矩阵 、 回归差 矩阵 与统一 参 数 矩 阵 、 、 之 间存 在如 下关 系 一 一 〔刁 一 ， ， 一 ， ， … ， 二 二 · 一 ’ ， 为 阶单位 方阵 。 正明 二 一 二 一 〔 。 〕 〔 卜 〔刀 。 。 ， 二 ， ， ， 一 另外 ， ， 『 一 ‘ 一 ‘ 二 一 一 ‘ 证 毕 。 为 了定 义零 回归差 矩 阵 ， 先 引入 矩阵 … 一 言 尸‘ 、 … … … … … … 、 、 。八︸。 ︷ 、、‘ ︵。 ︸。。 甘且… 。。。。· 一 一 工 ︸ ︸、 了一 尸人， … ， 。 。 七 一 。 、 、 、 、 … … … … … … … ， 二 八…… 八… 一 一 设 图 中 号 口 集 为输入 口 集 ， 号 口 集 为输出 口 集 。 为 了把我们 关心 的 输入 口 集主 变量 向 量 ，和 输出 口 集付 变量 向量 ， 分 别 上移 到主 、 付 变量 列矩阵 和 的最 上方 ， 我 们 用 矩 阵 ，和 一 ‘ 对式 进行 变换如 下 注意 到 ，和 、 一 ‘ 中的 代 表单位方阵 夕

(TU)=(T DTx-)(TxW) ]-[01Lw]aw (TU)=(TiXTK-1)(TkW) ]-[x][] (2.11b) 式中： U,'=(U1…U-iU,Uw)', Wx'=(W…Wk-t Wx I..WM) (2.11c) D,'K=(DKD)K…Dc+1K…DMx)', D1K'=(D11D1K-1,D1(K1)D1M) (2.11d) n(合s ）一D1x的余子矩阵 (2.11e) (TDD (2.11f) U,=(U…U-rU}+rU4)',W,=〔W…Wk-rW+红…W)' (2.11g) X'K=(X1K…X(11)kX(+1KXx)', X1K'=〔X1…X1(K.1X(K1)…Xm) (2.11h) (Gg 一一Xx的余子矩阵 (2.11i) 这甲行上标t表示转置矩阵。 定义(2)若n1=nx,D1+0,DKa+0,则n口网络D(X)巾n口反馈子网络X,关 于输入口集J和输出口集K的雾回归比矩阵T(X)和雾回归差矩阵)(X),分别被定义 为：在外加信号源Us龙调节U以达到调节U,使Wx=O的条件下，从独立主变量向是U,' 到U',的传输矩阵和从U,'到U,=U,'+U,的传输矩阵，即 U,=TK(X).U'调U,使Wx=0 (2.12n U,=U,'+U,=F(X).U,'调U使Wk=0 (2.12b) 定理(2)。若n1=nx,1D|丰0，D,K卡0，则n口反馈网络的零回归比阵TK(X)和 零同归差矩阵下：k(X)与统一参数矩阵DX、D(X)之问有下列关系： 1K(X)=X)x*D1k*1 ,(2.13a 130

、 ‘ 二 一 ‘ 「 〕 厂 二 或 二 、 一 衬从 ‘ ， 压帐 勺 一 功 几 、 、 声」认 习 ‘ 一 、 一 或「 伙 ， 产 、 ， 来 一 ﹁︸ 了‘ 夕胜于」 、 ，、产 式 中 〔 … 〔 … 一 一 … … 〔 … ， 百‘ … ， 、 ， 、 … 〕 一 ，。 、 一 、 了厂 诬 … 、 ， 〕 哪’ 、 牛 〔 。 〕 二 … ， 一 ， ， 一 ， 十 、 － 的余子 矩 阵 ， 勺 来 一 ‘ 〔 ， 〔 … 二 ， ， … 劫 ， ， 委 ， 〔 · 畏一 卖 十 工 … 却 产 〔 ， 〔 一 … ， ， 、 ， ， ，。 ， ，、 了。 、 一 〕 ，’ · 〕 ， 来 一 〔 。 〕 ， … ， 一 ， ， … ， ， … ， 一 ， ， … ， － 的余 子 矩阵 这 里 右 ’ 标 表 示 转置 知 阵 。 定义 若 ， ， 车。 ， “ 等 。 ， 则 口 网络 中 口 反 馈 子 网络 ， 关 于 输入 口 集 和 输出 口 集 的零 回 归比矩 阵 ’ 和 零 回 归差 矩 阵 ’ ， 分 另 被 定义 为 在外加信 号源 龙 调节 莹以 达 到 调 节 ，使 。 的条件 下 ， 从 独立 主 变 鼠向 鼠 ，尹 到 ‘ 的 传输矩 阵 和 从 ，尹 到 至 ， 了 ， 的传输 矩阵 ， 即 尹 宁 · · ， 调 使 一 ， 二 ， ， 宜 · ， · ， 调 ，使 一 、 。 定理 若 ， 专 。 ， ， ，、 入 午 ， 则 口反 馈网络 的零 回归 比 奸 阵 ’ 和 零 回 归 差 矩阵 补 ‘ 与统一 参 数 矩阵 、 又 之 间有 下 列 关 系 ’ 辛 ‘ ’ ，

1K(X)-「+TK(X)=D]x*(X)D1x*-1, (I为n-n:阶单位方阵) (2.13b) c (2.13c 式中，D]x*(X)和D]x(X)分别是矩阵D(X)中子矩阵DK(X)的余子矩阵和代数余子式： D,x*和D,k分别是矩阵D中子矩阵D,x的余子矩阵和代数余子式。 证明：因设D+O,故存在有逆矩阵 DD (TDTK)-=TxD-T= (2.14) Dk程D)J 式中 D=(D})D总，Dx4…D})', Dk'=〔D3…D2)D…Dx) D)*=(D) B=,1,,K-1,K+1) C=I,I,…,J-I,J+I,…,M (2.15) 用(T,DTx1)-左乘式(2.11a)中左边式子的两边，得到 emw4Fee] 根据矩阵理论〔4)，当n」=x时有 1D1=0,D=(-1D1-1+N-D2.16) 因设n,=K,D1x+0,故D}|牛0，从而D‘家}-存在，且 -[-D] 存在。月矩阵1左乘式（2.15)的两边，得到 -Lw-Tw[82][g]儿0] (2.17) 式中 WK'=W-D D-Wx (2.17a) D)*=D‘亲-D‘}D}-1Dx (2.17) 131

’ 二 为 ‘，一 十 厂 ’ 二 、 、 一 ’ ， ，阶单位 方阵 之 、 。 尸 “ 入 州 二 百 伙 、 式 中 ， 介 和 气 分 别是 矩阵 中子矩阵 ， 的余子矩 阵 和代数 余子式 牛 和 ， 凸 分别是 矩阵 中子 矩阵 ， 的余 子矩阵 和代数余子 式 。 证 明 因 没 斗 。 ， 故 存 在有 逆 矩阵 一 一 一 · 一 一 〔 衬 ， 孟 ，》 召 户 泛 ，。 式 中 协 ’ 衬 ’ … 毛“ 、 〔 一 乏献 呈 了 二 。 贬夏 〔石乍 〔 妥委 ， … 少 一 是衬早 ， … 献 ’ 〕 ‘ 科 ’ 来 二 〔 ‘ 韶 ’ 〕 ， ， 一 ， 、 ， 一 ， … ， 用 一 ’ 一 ’ 左 乘式 中左边 式 子 的两边 ， 得 到 「 飞 「 门 谧﹂厂 ﹃ 一 ‘ 厂 ， ’ ， 或 ， 卜 ‘ 万 ’ 舀生 ， 石乍 ’ ‘ 贾 ’ 带 根据 矩 价三理 论 〔 〕 ， 当 二 寸有 ‘ ，卜 ‘ 汀 △ ， ， 一 一 ‘ 一 一 ’ 、 · 因设 ， ， ， 八 寺 ， 故 斗 ， 从而 ‘ 蔺 ’ 一 ‘ 存 在 ， 且 ‘石 ‘ 一 于 卜 ‘ 一 ﹂厂 一一 存 在 。 矩阵 左 乘式 的 内边 ， 上 ， 二 · ‘ 一 ‘ ’ 一 ‘ ‘ ’ 导到 或户了 协 益刀 又 式 中 俞 ‘ 二 ， 一 ‘舀 ‘ 刘 一 ‘ ‘ 丽 ” ‘ 贾 、 米 一 ‘ 丽 〔 丽 一 ’ ‘ ‘

DD (L.TD-TL0 (2.17c) D)* 用式、2.17c)的左边和右边分别左乘式(211f)的左边和右边，比较所得乘积的右下角子 块，可得 D})Dx◆=I,或 D=DIK*- (2.18) 从式(2.17)的右边式子可求得 Wx=D)U,+D}冫U,'或U,=Dx}-t(Wx-DxU') W=DU Wx'=DU+D D-WK 从上列二式可看出，若调节U,使Wk=0,则所需U,值和所得Wx'值分别依赖于U,'如下： U,=-DK})-1DU,' (2.19) Wx'=D})*U,'=D1x-U,' (2.20) 从式(2.11b)的右边式子可求得 Ui,=X,'xWk+XIx◆Wx 考虑到 Wk=Wx=0,Wk,=Wx'和式(2.20)，上式变成 U引，=XK*Wx'=XK*D}*U,'=XJx*Dx*-1U,' 个1K(X)=X)x*D})*=X1x*D1K-: 又因U,=U'+U},=(I+T1K(X)U,' 式中I为n-n,阶单位方阵，故据式(2.12b)得到 FIK(X)=1+TiK(X)=1+X1K*Dx-1=(DIK*+XIK)DIK*-1=DIK(X)DiK*- 从上式两边取行列式，考虑式(2.16)，可得 sw-b01.D5, D方K 定理(2)全部证毕。 定义(3)若在n口网络的口集J上外加信号源U,其余口集不加信号源(UL=0), L 从口集J8的主变量向量U到口集K8的付变量向量W的传递矩阵称为U9→W?传递矩阵， 记为Kx,(X),即 W=Kx(X)U§(UIL,=0)` (2.21) ,132

喻、 ’ 一 厂 一一 一 一 ’ ，一 ‘ 色 了 〔 一 辛 用式 、 的左边 和右边分 别 左乘式 ‘ 的 左边和 右边 ， 比较所得 乘积 的右下 角子 块 ， 可 得 科 ’ 今 ’ ， 一 或 从 式 的右边 式 子可求 得 贾 ’ 辛 卜 ‘ ‘ 又今 ’ ， 〔 花圣声 ，尹 或 ， 夏 ，一 ‘ 一 ‘云、 ，‘ ， ‘ 妥 ， 或 ， ， 妥二 ’ 产 蔺 ‘蔺 ’ 一 ’ 从 上列二式 一 可看 出 ， 若 调 节 使 则所需 ，值和所得 尹 值 分 别 依赖 于 ，尹 如 下 一 蔺二 ’ 一 ， ‘ 贾 夕 尹 尸 人 ， 二 ‘ ， 带 ， 一 二 一 ’ ， 了 从式 的右边式 子可求 得 ， ，‘ 轰 鑫 ， 考虑 轰 ， 鑫 ， ‘ ，知式 ， 上式 变 成 ， ， 禅 ， 于 蔺 尸 ， 今 ， 一 ’ ，产 二 辛 ‘ 蔺 ’一 ， 朱 ， 令一 ’ 又 因 莹 ， ，， ， 式 中 为 一 ， 阶单位方阵 ， 故据式 ， 得 到 扮 一 ’ 从 上式 两边取行 列式 ， 考虑式 ， 介 ， 帝 ， 一 ‘ 二 ‘ 令 · 带一 ’ 可得 定理 全 部证 毕 。 定义 若 在 口 网络 的 口 集 ” 上外加 信号源 于 ， 其余 口 集不加 信号源 刽 二 ， 从 口 集 “ 的主 变量 向量 于到 口 集 ” 的付 变量 向量 畏的传递 矩阵称 为 于， 畏传递矩 阵 ， 记为 ， ， 即 畏二 ， 一 于 呈 ， 二

特别是，U氵→W传递矩阵K1(X)称为口集J的输入阻纳矩阵。 定理(3)(Black man方程的推广)若n口网络D(x)中，n1=nx,1D(X)1卡0， ID+0,Dx牛0，则有 IK.1-- (2.22) 证明：因设ID(X)I+0,故存在有逆矩阵D(X)-',从式(2.8)有 Ws=D(X)-U5 考虑到这里Us=〔0…0U0…0)'Ws=(W…W…W), 从上式可解出 W=DK(X)U(USIL=0) 将上式与式(2.21)比较，得到 KK(X)=D(X) 和 Kk(0)=KK,(X)lx=o=D)(0)=D}) 式中D}(X)和D;'分别是逆矩阵D(X)1和D-1中位于K行集与J列集相交处的子矩 阵。 又因设n」=nx,故Kx(X)为方阵，可取上二式的行列式。根据矩阵理论〔3)，並考虑 到式(2.16)、(2.10c)和(2.13c)可求出 IK.I-D D.pIcpL IFIK(X) F(X)1 证毕。 特殊情况，n」=nx=1,就得过去文献〔2)所得的结果。 定义(4)以阶方阵X。为参考时，n口网络D(X)内一个n口反馈子网络X的回归差矩 阵x(X)〔或FX(X)和零回归差矩阵下5(X)(或下JK,X(X),分别被定义为：把 Y。留在基本子网络的统一参数矩阵内〔这样基本子网络的统一参数矩阵为D(X。),仅考虑 X。对于X的补矩阵X:=X一X。的反馈作用时的回归差矩阵和零回归差矩阵。 定理(4)定理(1)、定理(2)和定理(3)的内容经过下列代换以后，就得到以n阶方 阵X。为参考时的对应的定理。需要的代换如下： D→D(Xo),X→X8,D(X)→D(X),T(X)→Txo(X), F(X)→Fxo(X),DkD1*(X,XK*(X)x*，个(X)→T(X) (2.23) fK(X)→F(X),D1x→Dx(Xo,Dx(X)→D1K(X) D1x*(X)-→D1K*(x),KK,(0)→Kx(Xg),KK(X)→KK:(X) 133

特别是 ， 于， 爹传递 矩阵 ， 称为口 集 的输 入 阻 纳矩阵 。 定理 方程 的推广 若 口 网 络 中 ， ， 二 ， 专 。 ， 钾 ， ，‘ 心 斗 ， 则有 ， 二 ‘ “ 旧 ， 】 ’ 】 让 明 因设 今。 ， 故存在有 逆 矩阵 一 ‘ ， 从式 有 吕 一 ’ 考虑 到这 里 ” 〔 … 亨… 〕 ’ 和 要 ， 二 畏一 炙 ‘ ， 从 上式 可解 出 是 二贾 、 亨 全 ， 二 将 上式 与式 比较 ， 得 到 二 ‘ 蔺 和 ‘ ， ‘ ， 二 。 ‘ 万 百 式 中 刘 和 ‘ 刘 ’ 分别 是逆 矩阵 犷 ‘ 和 一 ‘ 中位 于 行 集 与 列 集相 交处 的 子 矩 阵 。 又 因设 ， 二 ， 故 ， 为方阵 ， 可取 上二 式 的行 列式 。 根据 矩阵理 论〔 〕 ， 业考虑 到式 、 和 一 可求 出 ‘ 夏 二 ，、 竺茎全 一 “ 】 ， “ 】 证 毕 。 特殊情况 ， “ ， 就 得过去 文 献〔幻所得 的结果 。 定义向 以 阶方阵 。 为参考时 ， 口 网络 内一个 口 反馈子网 络 的 回 归差矩 阵 。 〔或 礼 〕和零 回归差 矩阵 气狄 〔 或 钊 ’ 〕 ， 分 别被 定义 为 把 留在基本子网络 的统一 参数矩阵 内 〔这样基本子 网 络 的统一 参数 矩阵 为 。 〕 ， 仅考虑 。 对 于 的补矩 阵 盆二 一 。 的反 馈作用时的 回归差 矩阵和零 回归差 矩阵 。 定理 定理 、 定理 和定理 的 内容经过 下列代换 以后 ， 就得 到 以 阶方 阵 。 为参考时 的对应 的定理 。 需要 的代换如 下 尸 了、 、产 ， 。 ， ， 念 ， ， ， ， 、 。 ， ‘ 。 ， ， 晰 ， ， 牵 。 ， ， ‘ ， ， ’ ‘ 关 争 ， 一 宕姿誉 ， ‘ 一 ‘ 八 。 ， ， · ， ， ‘ 余 ， 辛 ， ， ， ，

本定理的证明方法与定理(1)(2).(3)的证明方法完全相类似，只要在证明过程中， 也考虑到上列代换就行。 推论(1)若1D1+0,1D(X。)I+0,则 . Fx,(X).=D(X).D(Xo)-=F(X).F(Xo)-1 (2.24) 证明：可根据定理(4)和定理(1)证明如下， Fx(X)=D(X).D(X)-=D(X).D-i.D.D(Xo)-1=F(X).F(X)- 类似地可证明下面的推论(2) 推论(2)若n)=K,1D1卡0，D1K+0,D(X)川卡0，和D1K(Xo)+0,则有 F(X)=D1K*(X)D1x*(Xo)1=下1K(X).F1K(X0)-1 (2.25) (2)反馈子网络口数n()小于基本子网络口数n的情况 如果反馈子网络口数n‘)小于基本子网络口数n,可以求出它的等效n口反馈子网络， 从而也可应用前述理论进行分析。例如，图2.2中，反馈子网络只有三个口集J‘、G和K‘, h口网络D) U小=D(x)w,DGK)=DtX (,) (U,W) t G (,W) (5) 基本不网络D () (UR,w) Js U=DW M (,E) (U) M3 mf 等效几江反馈子网路 Uf =XgGkf (w) f口友缆不网络 吃a装 (uf,wt) (U.w) 图2.2反馈子网络口数n‘r)小于基本子网络口数n的情况 134

本定理 的 证 明方法 与定理 。 飞耳即 入拼 的证明方法完 全相类 似 ， 只要奋证 明过 程 中 也 考虑 到 上列 代换 就行 。 推论 若 午 ， 。 午 甘 ， 则 犷 。 行 · 一 ’ 一 · 。 一 ‘ 证 明 可根 据 定理 和 定理 证 明如 下 ， 上了 。 一 · 一 ’ 类似 地 可证 明下 面 的推 论 卜 一 ’ · · 。 一 ‘ 二 卜 。 一 ’ 推论 若 ， ，、 ， 羌 。 ， 斗 ， 。 斧 ， 和 、 。 钾 。 ， 则有 灸杏 带 · 分 。 一 ‘ ’ · ’ 一 ， 反 馈 子 网 络 口 数 厂 ’ 小 于 基本子 网络 口 数 的情况 如 果反 馈 子 网 络 口 数 ‘ 犷 ’ 小 于 基 本 子 网 络 口 数 “ ， 可 以 求 出它的 等效 。 口 反 馈子 网 络 ， 从而也可 应 用前述理 论进行 分 析 。 例 如 ， 图 中 ， 反 馈子 网 络 只有三 个 口 集 ‘ 、 ‘ 和 ‘ ， 沪 吸呀 奋 羞幸干闷洛夕 ‘ 二 二 夕 众 姚 ， 呵夕 二 沙 ， … 、 ， 哈’ 砂 口 二 交峡年网 络 咭扩喻嚼 ” 图 反馈 子 网络 口 数 ‘ 犷 小 于 基本 子 网络 口 数 的 情 况