·606 工程科学学报，第39卷，第4期 幅值 辐值 150 ■12 150 (a) 12 10 100 2 时间s 时间/s 图1仿真信号分析结果.(a)实际时频分布：(b)STT时频分布 Fig.1 Analysis results of simulation signal:(a)true spectrogram:(b)STFT spectrogram x(d (8) (6)重复(2)~(5)，直至得到所有频率成分f() 所对应分量x,()的时频分布TFR[x:]: 其中，相位函数s()可以由瞬时频率f()积分得到，而 (7)依据各分量的时频分布TFR[x,],即可得到原 瞬时频率f(t)可由STFT或其他自适应时频分析方法 分析得到.虽然估计瞬时频率∫(t)的过程中会产生一 始信号的时频分布TFR[]=∑TFR[x] 定的误差，从而导致广义解调后的信号不是严格平稳 的，但是其时频分布总体上是平行于时间轴的，即 2 仿真信号分析 ()≈0.由于f(）≈0，减少了调制项的干扰，所以选 为了验证IG-STFT在行星齿轮箱齿轮故障诊断中 取广义解调作为STT的预处理步骤，为得到具备良 的可行性，分析下式所示的行星齿轮箱太阳轮故障仿 好能量聚集性的时频分布提供了可能. 真信号， 1.3方法的提出 STT在分析接近时不变的信号时可以得到能量 sigo={1-cos[2πJ0d]} 聚集性很好的时频分布，但在分析瞬时频率时变信号 {1+Acos[2m()d+中]}cos{2π∫E()d+ 时，由于调制系数的存在，会产生很强的调制作用，使 其能量扩散到周围区域而降低了时频图的可读性.广 Bsin [2f.()d+o+() (9) 义解调可以实现信号从非平稳到近似平稳的过渡，将 式中，()为太阳轮转频，∫()为太阳轮故障特征频 瞬时频率时变的信号转化为频率恒定的信号.综合 率，(t)为啮合频率，初相位中=0=0，幅值调制系数 上述分析，提出了IG-STFT,以减小调制系数对STFT A=1.4,频率调制系数B=0.05.为了模拟实际测试 时频分布的影响，提高时频图的可读性.具体步骤 环境中背景噪声的影响，在仿真信号中加入信噪比为 如下： 0dB的高斯白噪声().同时令太阳轮转频⊙(t)= (1)运用STFT等自适应时频分析方法分析信号 -12.92+20t+12以模拟行星齿轮箱非平稳运行工 中主导频率的变化趋势，提取时频脊线得到各频率成 况.信号采样频率为2048Hz,采样时间为1.5s. 分近似的瞬时频率广，()： 由式(9)推导得到信号中包含的9个时变频率成 (2)对瞬时频率广()进行积分，构造出相位函数 分f4=∫n∫∫0+∫m小6=∫n∫+∫m-g=∫n± s,(0=「旷()-]d,进而得到包含相位函数的信 +fw6=∫+fm其中，=(503)0，f= 号x,(t)e~卫，@，其使得单分量x:(t)的瞬时频率近似 (10/3)fr =0.05cos(2f.dt)f.. 地围绕恒定值。较小地波动(。的取值小于信号的采 太阳轮故障仿真信号的分析结果如图2所示，其 样频率一半即可) 时域波形及Fourier频谱如图2(a)和(b)所示.进一 (3)利用滤波器滤出瞬时频率围绕。波动的准 步运用STFT及IG-STFT分析上述仿真信号并得到其 平稳信号x,()e卫@： 时频分析结果如图2(c)和(d)所示.在图2(c)中，可 (4)运用STFT分析单分量x,(t)e~P,0的时频 见在主导频率周围存在较强的调制作用，且受噪声影 分布： 响较大，甚至在初始及末了阶段出现了不同频率成分 (5)依据估计得到的瞬时频率∫(t）与滤波器中 之间交叉重叠的现象.在图2(d)中，存在明显的9个 心频率。的差值()=f(）-。对时频图重新排布， 主导频率成分时变趋势，故所提出的方法有效避免了 即可得到单分量x:(t)真实的时频分布TFR[]: 交叉项、背景噪声及调制系数的影响.工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 图 1 仿真信号分析结果． ( a) 实际时频分布; ( b) STFT 时频分布 Fig． 1 Analysis results of simulation signal: ( a) true spectrogram; ( b) STFT spectrogram XG ( f) = ∫ +∞ －∞ x( t) e － j2π［f( t) t + s( t) ］dt． ( 8) 其中，相位函数 s( t) 可以由瞬时频率 f( t) 积分得到，而 瞬时频率 f( t) 可由 STFT 或其他自适应时频分析方法 分析得到． 虽然估计瞬时频率 f( t) 的过程中会产生一 定的误差，从而导致广义解调后的信号不是严格平稳 的，但是其时频分布总体上是平行于时间轴的，即 f'i ( t) ≈0． 由于 f'i ( t) ≈0，减少了调制项的干扰，所以选 取广义解调作为 STFT 的预处理步骤，为得到具备良 好能量聚集性的时频分布提供了可能． 1. 3 方法的提出 STFT 在分析接近时不变的信号时可以得到能量 聚集性很好的时频分布，但在分析瞬时频率时变信号 时，由于调制系数的存在，会产生很强的调制作用，使 其能量扩散到周围区域而降低了时频图的可读性． 广 义解调可以实现信号从非平稳到近似平稳的过渡，将 瞬时频率时变的信号转化为频率恒定的信号． 综合 上述分析，提出了 IG-STFT，以减小调制系数对 STFT 时频分布的影响，提高时频图的可读性． 具 体 步 骤 如下: ( 1) 运用 STFT 等自适应时频分析方法分析信号 中主导频率的变化趋势，提取时频脊线得到各频率成 分近似的瞬时频率 ^ fi ( t) ; ( 2) 对瞬时频率 ^ fi ( t) 进行积分，构造出相位函数 si ( t) = ∫［^ fi ( t) － f0］dt，进而得到包含相位函数的信 号 xi ( t) e － j2πsi ( t) ，其使得单分量 xi ( t) 的瞬时频率近似 地围绕恒定值 f0 较小地波动( f0 的取值小于信号的采 样频率一半即可) ; ( 3) 利用滤波器滤出瞬时频率围绕 f0 波动的准 平稳信号 xi ( t) e － j2πsi ( t) ; ( 4) 运用 STFT 分析单分量 xi ( t) e － j2πsi ( t) 的时频 分布; ( 5) 依据估计得到的瞬时频率 ^ fi ( t) 与滤波器中 心频率 f0 的差值 v( t) = ^ fi ( t) － f0 对时频图重新排布， 即可得到单分量 xi ( t) 真实的时频分布 TFＲ［xi］; ( 6) 重复( 2) ～ ( 5) ，直至得到所有频率成分^ fi ( t) 所对应分量 xi ( t) 的时频分布 TFＲ［xi］; ( 7) 依据各分量的时频分布 TFＲ［xi］，即可得到原 始信号的时频分布 TFＲ［x］= ∑ K i = 1 TFＲ［xi ］． 2 仿真信号分析 为了验证 IG-STFT 在行星齿轮箱齿轮故障诊断中 的可行性，分析下式所示的行星齿轮箱太阳轮故障仿 真信号， sig( t) { [ = 1 － cos 2π ∫f ( r) s ( t) dt ] } { · 1 + A [ cos 2π ∫fs( t) dt +  ] } cos 2{ π ∫fm ( t) dt + B [ sin 2π ∫fs( t) dt + θ ] } + ζ( t) ． ( 9) 式中，f ( r) s ( t) 为太阳轮转频，fs( t) 为太阳轮故障特征频 率，fm ( t) 为啮合频率，初相位  = θ = 0，幅值调制系数 A = 1. 4，频率调制系数 B = 0. 05． 为了模拟实际测试 环境中背景噪声的影响，在仿真信号中加入信噪比为 0 dB 的高斯白噪声 ζ( t) ． 同时令太阳轮转频 f ( r) s ( t) = － 12. 9t 2 + 20t + 12 以模拟行星齿轮箱非平稳运行工 况． 信号采样频率为 2048 Hz，采样时间为 1. 5 s． 由式( 9) 推导得到信号中包含的 9 个时变频率成 分: f1 － 4 = fm ± fs ± f ( r) s + fFM，f5 － 6 = fm ± fs + fFM，f7 － 8 = fm ± f ( r) s + fFM，f9 = fm + fFM ． 其 中，fm = ( 50 /3 ) f ( r) s ，fs = ( 10 /3) f ( r) s ，fFM ( = 0. 05cos 2π ∫fsd ) t fs． 太阳轮故障仿真信号的分析结果如图 2 所示，其 时域波形及 Fourier 频谱如图 2( a) 和( b) 所示． 进一 步运用 STFT 及 IG-STFT 分析上述仿真信号并得到其 时频分析结果如图 2( c) 和( d) 所示． 在图 2( c) 中，可 见在主导频率周围存在较强的调制作用，且受噪声影 响较大，甚至在初始及末了阶段出现了不同频率成分 之间交叉重叠的现象． 在图 2( d) 中，存在明显的 9 个 主导频率成分时变趋势，故所提出的方法有效避免了 交叉项、背景噪声及调制系数的影响． · 606 ·