微分方程y”+2y-3y=ex+x的一个特解是( a ae +bxtc B axe+bx+c C axe+x(bx+c) D ae+x(bx +c) 谷案B 解微分方程y"+2y-3y=e-x+x的特解等于下列两个微分方程 y+2y-3y=e,y"+2y-3y=x 的特解之和 根据有关的原理,非齐次微分方程y”+2y-3y=e具有形如axex的特解;非齐 次微分方程y”+2y-3y=x具有形如bx+c的特解因此非齐次微分方程 y"+2y-3y=e-+x具有形如axe+bx+c的特解于是应当选B 5设y1(x),y2(x)是二阶线性齐次微分方程y”+p(x)y+g(x)y=0的两个特解 问能够由y1(x),y2(x)的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为 A.y1(x)y2(x)-y2(x)y(x)=0B.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)≠0 C.y1(x)·y2(x)+y2(x).y(x)=0D.y1(x):y2(x)+y2(x)y(x)≠0 谷案B 解题思路考虑y1(x),y2(x)的朗斯基行列式 解法1作为二阶线性齐次微分方程两个解,y1(x),y2(x)的线性组能否构成该方程的 通解,充分必要条件是这两个函数线性无关;另一方面这两个函数线性无关的充分必要条件 是它们的朗斯基行列式 1(x)y2(x yI(x)y2(x) 恒等于零(也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零)这就是选项B 解法2如果有的读者不熟悉朗斯基行列式可以按照下述方法直接考察y1(x),y2(x) 是否线性无关,即是否存在常数C,使得 y2(x) C y1(x) 如果y1(x),y2(x)线性相关则存在常数C使得4: 微分方程 y y y e x x  +  − = + − 2 3 的一个特解是( ) A ae bx c x + + − . B axe bx c x + + − . C axe x(bx c) x + + − D. ae x(bx c) x + + 答案 B 解: 微分方程 y y y e x x  +  − = + − 2 3 的特解等于下列两个微分方程: x y y y e −  + 2  − 3 = , y  + 2y  − 3y = x 的特解之和. 根据有关的原理, 非齐次微分方程 x y y y e −  + 2  − 3 = 具有形如 x axe − 的特解; 非齐 次微分方程 y  + 2y  − 3y = x 具有形如 bx + c 的特解 . 因 此 非 齐 次 微 分 方 程 y y y e x x  +  − = + − 2 3 具有形如 axe bx c x + + − 的特解.于是应当选 B . 5 设 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 是二阶线性齐次微分方程 y  + p(x)y  + q(x)y = 0 的两个特解. 问能够由 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为: A. y1 (x) y2  (x) − y2 (x) y1 (x) = 0 B. y1 (x) y2  (x) − y2 (x) y1 (x)  0 C. y1 (x) y2  (x) + y2 (x) y1 (x) = 0 D. y1 (x) y2  (x) + y2 (x) y1 (x)  0 答案 B 解题思路: 考虑 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的朗斯基行列式. 解法 1 作为二阶线性齐次微分方程两个解, ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组能否构成该方程的 通解,充分必要条件是这两个函数线性无关;另一方面,这两个函数线性无关的充分必要条件 是它们的朗斯基行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 y x y x y x y x   恒等于零(也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零).这就是选项 B . 解法 2 如果有的读者不熟悉朗斯基行列式,可以按照下述方法直接考察 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 是否线性无关,即是否存在常数 c ,使得 c y x y x  ( ) ( ) 1 2 . 如果 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性相关,则存在常数 c 使得