y2(x) y1(x) (因为是齐次方程所以y和-y1都是方程的解因此如有必要,可以改变y1(x)的符号,使 0)即 In y2(x)=In y,(x)+Inc 两端求导数得到 y2(x)y1(x) 这与B冲突所以条件B能推出y1(x),y2(x)线性无关因而是问题的充分条件 反之若y1(x),12(x)线性无关上2(≠C,即1ny2(x)+mn(x)+nC求导数 y1(x) 得到 y2(x)y1(x) y2(x)y1( 由此立即得到B因此也是y1(x),y2(x)线性无关的必要条件 6验证y1=x与y2=sinx是二阶微分方程(y)2-y”=1的两个解问由 y1(x),y2(x)的线性组合能否构成该方程的通解? 解:不能!虽然两个解y1=x与y2=sinx线性无关但是由于这个方程不是线性方程, 所以y1(x),y2(x)的线性组合不能构成该方程的通解 7:(91209)求微分方程y”+y=x+cosx的通解 解题思路:在用比较系数法求该方程的特解时,注意此方程右端是两个函数x和coSx之 和所以需要分别求出方程y+y=x的特解y1和y"+y=cosx的特解y2.然后得到原 方程的一个特解y=y+y2 首先求出对应的齐次方程的通解y=c1cosx+C2Snx 然后用比较系数法求非齐次方程y”+y=x的特解y1因为0不是特征根所以该方程 具有形如y=Ax+B的特解,将其代入方程求出A=1,B=0,y1=xc y x y x  ( ) ( ) 1 2 (因为是齐次方程,所以 1 1 y 和− y 都是方程的解.因此如有必要,可以改变 ( ) 1 y x 的符号,使 c  0 )即 ln y (x) ln y (x) ln c 2 = 1 + 两端求导数得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x y x y x y x  =  (*) 这与 B 冲突.所以条件 B 能推出 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关,因而是问题的充分条件 反之若 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关,则 c y x y x  ( ) ( ) 1 2 ,即 ln y (x) ln y (x) lnc 2  1 + 求导数 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x y x y x y x    由此立即得到 B .因此也是 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关的必要条件. 6: 验 证 y = x 1 与 y sin x 2 = 是 二阶微分方程 ( ) 1 2 y  − yy  = 的两个解 . 问 由 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合能否构成该方程的通解? 解: 不能!虽然两个解 y = x 1 与 y sin x 2 = 线性无关,但是由于这个方程不是线性方程, 所以 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合不能构成该方程的通解. 7 : (91209) 求微分方程 y  + y = x + cos x 的通解. 解题思路: 在用比较系数法求该方程的特解时,注意此方程右端是两个函数 x 和 cos x 之 和,所以需要分别求出方程 y  + y = x 的特解 1 y 和 y  + y = cos x 的特解 2 y . 然后得到原 方程的一个特解 * 1 2 y = y + y . 解: 首先求出对应的齐次方程的通解: y c cos x c sin x = 1 + 2 . 然后用比较系数法求非齐次方程 y  + y = x 的特解 1 y . 因为 0 不是特征根,所以该方程 具有形如 y1 = Ax + B 的特解,将其代入方程求出 A = B = y = x 1 1, 0,