再用比较系数法求非齐次方程y”+y=c0sx的特解y2由于纯虚数i是特征根所以该 方程具有形如y2= Ax cos x+ Bx sin x的特解将其代入方程求出A=0,B=,所以 V2=siNx 因此原方程的一个特解为y,=H=y2=x+2xsx,原方程的通解是 V=C coSx+C, sinxtxt sIn x 8:(97205)设y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xe2+e2x+e-x是某个二阶 线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程 解题思路:设所求方程为y”+py+qy=∫(x).先求p,q,即确定齐次微分方程 y"+py+qy=0.由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程 y"+py3+qy=0的两个解进而确定P,q.然后求f(x) 解:题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解 y3-y1=e,y3-y2=e 于是特征方程2+p+q=0两个根为A1=-1,l2=2,由此确定p=-1,q=-2.于 是所求方程为y-y-2y=f(x)将非齐次微分方程的解y1=xe+e代入方程(用 y2,y3代入亦可得f(x)=ex-2xe 9:已知二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解为 y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求方程满足初值条件y(0)=1,y()=3的特解 解题思路:根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程 y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解可以表示为 非齐次方程通解齐次方程通解+非齐次方程特解 题目已经给出非齐次方程的特解,剩下的问题是求出齐次微分方程 y"+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关解以构成齐次方程的通解再用比较系数法求非齐次方程 y  + y = cos x 的特解 2 y .由于纯虚数 i 是特征根,所以该 方程具有形如 y Ax cos x Bx sin x 2 = + 的特解,将其代入方程求出 2 1 A = 0, B = ,所以 y x sin x 2 1 2 = . 因此原方程的一个特解为 y y y x x sin x 2 1 * = 1 = 2 = + ,原方程的通解是 y c cos x c sin x = 1 + 2 x x sin x 2 1 + + 8: (97205) 设 x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e − − = + = + = + + 2 2 3 2 1 , , 是某个二阶 线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解题思路: 设所求方程为 y  + py  + qy = f (x) .先求 p, q ,即确定齐次微分方程 y  + py  + qy = 0 ..由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程 y  + py  + qy = 0 的两个解,进而确定 p, q . 然后求 f (x). 解: 题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解: x x y y e y y e 2 3 1 3 2 − = , − = − 于是特征方程 0 2  + p + q = 两个根为 1 = −1, 2 = 2 ,由此确定 p = −1, q = −2 .于 是所求方程为 y  − y  − 2y = f (x).将非齐次微分方程的解 x x y xe e 2 1 = + 代入方程(用 2 3 y , y 代入亦可)得 x f (x) = e x − 2xe . 9: 已知二阶线性非齐次微分方程 y  + p(x)y  + q(x)y = f (x) 的三个特解为 x x y x y e y e 2 1 2 3 = , = , = ,试求方程满足初值条件 y(0) =1, y (0) = 3 的特解. 解题思路 : 根据线性微分方程解的理论 , 非 齐 次 微 分 方 程 y  + p(x)y  + q(x)y = f (x) 的通解可以表示为 非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解 题 目 已 经 给 出 非 齐 次 方 程 的 特 解 , 剩 下 的 问 题 是 求 出 齐 次 微 分 方 程 y  + p(x)y  + q(x)y = 0 的两个线性无关解,以构成齐次方程的通解