解根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的任 意两个解之差是齐次微分方程y”+p(x)y+q(x)y=0的解因此立即得到齐次微分方程 的两个解:e-x,已X-x,可以验证这两个解线性无关解,于是齐次微分方程的通解是 非齐次微分方程的通解是 y=x+c1(e2-x)+c2(e-x) 利用初值条件y(0)=1,y(0)=3可以求出C1=-1,c2=2.于是所求特解为 yo 2 10(94109)设全微分方程[x(x+y)-f(x)ydx+[x2y+f(x)kh=0,其中 f(x)有二阶连续导数且f(O)=0,f(0)=1.求f(x)以及全微分方程的通解 解题思路:这是一到综合题,其中涉及到全微分和二阶线性常系数方程如果 aP a0 P(x,y)dx+Q(x,y)dhy是某个二元函数l(x,y)的全微分,那么必有 由这个条 ax 件可以推出f(x)满足的微分方程然后利用题目给出的初值条件求解微分方程得到f(x) M: P(x, y)=xy(x+y)-f(x)y, @(x,y)=x y+f(x) aP 由于P(x,y)dx+Q(x,y)a是某个二元函数l(x,y)的全微分,所以 即有 c[xy(x+y)-f(x)y]=2[x2y+f'(x)] 由此f(x)满足的微分方程 f"(x)+f(x)=x2 齐次方程f∫"(x)+f(x)=0的通解为y=c1COSx+c2sinx又用比较系数法求的非齐次 方程的一个特解y0=x2-2因此方程∫(x)+f(x)=x2的通解是 y=cIcosx+C2 Sinx+x-2 利用题目给出的初值条件f(0)=0,f(0)=1可以得到C1=2,C2=1于是解: 根据线性微分方程解的理论, 非齐次微分方程 y  + p(x)y  + q(x)y = f (x) 的任 意两个解之差是齐次微分方程 y  + p(x)y  + q(x)y = 0 的解.因此立即得到齐次微分方程 的两个解: e x e x x x − − 2 , ,可以验证这两个解线性无关解,于是齐次微分方程的通解是 ( ) ( ) 2 1 2 y c e x c e x x x = − + − 非齐次微分方程的通解是 ( ) ( ) 2 1 2 y x c e x c e x x x = + − + − 利用初值条件 y(0) =1, y (0) = 3 可以求出 c1 = −1, c2 = 2 .于是所求特解为 x x y = e − e 2 0 2 10: (94109) 设 全 微 分 方程 [xy(x y) f (x)y]dx [x y f (x)]dy 2 + − + +  = 0 , 其 中 f (x) 有二阶连续导数且 f (0) = 0, f (0) =1.求 f (x) 以及全微分方程的通解. 解题 思路 : 这是一到 综合 题, 其中 涉及 到全 微分 和二阶 线性 常系 数方 程. 如果 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 是某个二元函数 u(x, y) 的全微分,那么必有 x Q y P   =   .由这个条 件可以推出 f (x) 满足的微分方程,然后利用题目给出的初值条件求解微分方程,得到 f (x) . 解: ( , ) ( ) ( ) , ( , ) ( ) 2 P x y = xy x + y − f x y Q x y = x y + f  x . 由于 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 是某个二元函数 u(x, y) 的全微分,所以 x Q y P   =   ,即有 [ ( ) ( ) ] [ ( )] 2 x y f x x xy x y f x y y +    + − =   由此 f (x) 满足的微分方程: 2 f (x) + f (x) = x 齐次方程 f (x) + f (x) = 0 的通解为 y c cos x c sin x = 1 + 2 .又用比较系数法求的非齐次 方程的一个特解 2 2 y0 = x − .因此方程 2 f (x) + f (x) = x 的通解是 y c cos x c sin x = 1 + 2 2 2 + x − 利用题目给出的初值条件 f (0) = 0, f (0) =1 可以得到 c1 = 2 , c2 =1.于是