2 1l.设f(x)有二阶连续导数并满足方程f(x)=0f(1-1)d+1求f(x) 解题思路:这是一个关于未知函数f(x)的积分方程方程两端分别求导数就得到关于未 知函数f(x)的微分方程 解:方程两端求导得到 f'(x)=f(1-x) (1) 再求导数得到 f"(x)=-f'(1-x) 由(1)式推出 f'(1-x)=f(1-(1-x)]=f(x) 代入(2)式得到 f"(x)=-f(x) 显然f(0)=1.又在(1)式中令x=0,得到∫(O)=f(1),于是原积分方程化为二阶微分方程 的初值问题 f"(x)+f(x)=0 1f(o)=1f(o)=f() (3) 方程通解为 f(x)=Ci coSx +C2 x (4) 由f(0)=1可以得到c1=1 两端求导得到 f(x)=-sin x+c2 cosx 再由∫(0)=f(1)可以得到 1-sn1 于是∫(x)=cosx+ Sin xf = 2cos x + sin x 2 2 + x − 11. 设 f (x) 有二阶连续导数,并满足方程 ( ) (1 ) 1 0 =  − + x f x f t dt ,求 f (x) . 解题思路: 这是一个关于未知函数 f (x) 的积分方程,方程两端分别求导数,就得到关于未 知函数 f (x) 的微分方程. 解: 方程两端求导得到 f (x) = f (1− x) (1) 再求导数得到 f (x) = − f (1− x) (2) 由(1)式推出 f (1− x) = f ([1− (1− x)] = f (x) 代入(2)式得到 f (x) = − f (x) 显然 f (0) =1.又在(1)式中令 x = 0,得到 f (0) = f (1) ,于是原积分方程化为二阶微分方程 的初值问题:    =  =  + = (0) 1, (0) (1) ( ) ( ) 0 f f f f x f x (3) 方程通解为 f (x) c cos x c sin x = 1 + 2 (4) 由 f (0) =1 可以得到 c1 =1. 两端求导得到 f (x) sin x c cos x = − + 2  (5) 再由 f (0) = f (1) 可以得到 1 sin 1 cos1 2 − c = 于是 f x x sin x 1 sin 1 cos1 ( ) cos − = +