12:设f(x)=xsnx-(x-D)f()d,其中f(x)连续,求f(x) 解对∫(x)=xsnx-56(x-1)/f(1)两边求导,得 f(x)=xcos x+sin x-lof(t)dt 两端再求导得到 f(x)=xsin x+ 2 cos x-f(x),Ep 齐次方程∫"(x)+f(x)=0的通解是C1cosx+C2snx 非齐次方程 f∫"(x)+∫(x)=-xsnx+2cosx 的特解应具有形式 y*(x)=x(Ax+ B)cos x+x(Cx+ D)sin x 用待定系数法求出4..C,D得出其特解为)*=4xC0x4xmx 所以方程的通解为 y=f(x)=-xcos x+xsn x+C1 cosx+ C2 sin x 由f(x)的表达式直接看出f(0)=0,又有f(x)的表达式(*)看出f(0)=0.代入初值条 件得到C1=C2=0,于是()=2x2c0sx+3xsmx 注释:上述例11和例12类型的问题属于常见题型,这类问题的基本方法是通过微分将积 分方程化为微分方程然后求解微分方程得到未知函数但是有一点需要提醒读者注意,为了 获得未知函数的表达式,求解微分方程需要初值条件一般来说初值条件不需要另外附加而 是通过积分方程本身获取 13.(89103)设线性无关的函数y,y2,y3都是微分方程y”-p(x)y+q(x)y=f(x)的 解则此微分方程的通解为y=( )(C1,C2为任意常数) V1 +C2 v2 + y B. C,vi+c c1y1+c2y2-(1-c1-c2)y c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3 14.(95203)微分方程y”+y=-2x的通解为() A y=C, coSx +C2 sin x-2x B y=CI cosx +C2 sin x+ 2x12: 设 = −  − x f x x x x t f t dt 0 ( ) sin ( ) ( ) ，其中 f (x) 连续，求 f (x) 解 对 = −  − x f x x x x t f t dt 0 ( ) sin ( ) ( ) 两边求导，得 = + −   x f x x x x f t dt 0 ( ) cos sin ( ) (*) 两端再求导得到 f (x) = −xsin x + 2cos x − f (x),即 f (x) + f (x) = −x sin x + 2 cos x 齐次方程 f (x) + f (x) = 0 的通解是 C cos x C sin x 1 + 2 非齐次方程 f (x) + f (x) = −x sin x + 2 cos x 的特解应具有形式 y *(x) = x(Ax + B) cos x + x(Cx + D)sin x 用待定系数法求出 A, B,C, D 得出其特解为 y x x x sin x 4 3 cos 4 1 * 2 = + 所以方程的通解为 y f x x x x sin x C cos x C sin x 4 3 cos 4 1 ( ) 1 2 2 = = + + + 由 f (x) 的表达式直接看出 f (0) = 0 ,又有 f (x) 的表达式(*)看出 f (0) = 0 .代入初值条 件得到 C1 = C2 = 0,于是 f x x x x sin x 4 3 cos 4 1 ( ) 2 = + . 注释: 上述例 11 和例 12 类型的问题属于常见题型,这类问题的基本方法是通过微分将积 分方程化为微分方程,然后求解微分方程得到未知函数.但是有一点需要提醒读者注意,为了 获得未知函数的表达式,求解微分方程需要初值条件.一般来说,初值条件不需要另外附加,而 是通过积分方程本身获取. 13. (89103) 设线性无关的函数 1 2 3 y , y , y 都是微分方程 y  − p(x)y  + q(x)y = f (x) 的 解.则此微分方程的通解为 y = ( )( 1 2 c , c 为任意常数) 1 1 2 2 3 A. c y + c y + y 1 1 2 2 1 2 3 B. c y + c y − ( c + c )y 1 1 2 2 1 2 3 C. c y + c y − (1− c − c )y 1 1 2 2 1 2 3 D. c y + c y + (1− c − c )y 14 . (95203) 微分方程 y  + y = −2x 的通解为( ) A. y c cos x c sin x 2x = 1 + 2 − B. y c cos x c sin x 2x = 1 + 2 +