第6期 廖翠萃，等：数值求解优化问题在活动轮廓模型上的应用 ·887- 着耗时长、效率低以及易于陷入局部极小值等问题。 式中：c1c2为活动轮廓线内部和外部的强度均值： 针对模型的改进，李春明等提出的处理强度不均 I(x,y)H(中(x,y))dxdy 匀图像的局部二元拟合模型：此外，潘改等)结合 c1= (3) 了LBF模型和GAC活动轮廓模型这2种方法，能有 [K·H(中(x,y）)drdy 效地处理弱边界图像的分割：张开华等[)提出的局 部图像拟合模型，基于高斯滤波的变分水平集方法 ，1-66，)dd 来处理强度不均匀的图像分割：刘瑞娟等)提出的 C2= (4) 融合局部和全局信息的活动轮廓模型方法；王小峰 K·(1-H(中(x,y)))dxdy 等]提出了一种局部CV活动模型，将局部图像信 式中：H(·)为Hessian函数。最终的分割轮廓线C 息融入到模型中。对于数值求解方面的改进，如牛 的位置及未知常量c1、c2通过最优化能量泛函得到： 顿方法、与置信域相结合的一般牛顿方法[)以及在 E{C°，c,°，c}=Minc.eE(C,c,cz)(5) 此基础上的改进牛顿方法。此外还有二阶、三阶 1.2基于局部区域信息的LBF模型及LIF模型 Runge-Kutta方法[o在CV模型上的应用。这些算 李春明等4)提出的局部二元拟合模型，有效地 法都能有效地增加了模型的求解速度，并针对不同 解决了C-V模型难以准确分割强度不均匀图像的 的问题都有所改进。目前，CV模型被广泛地应用 问题，该模型使用了图像的局部信息，引入一个以高 于医学图像分割，并具有很好的发展前景。 斯函数为核函数的局部二值拟合能量泛函代替C-V 本文在优化模型的同时，主要对模型的数值求 模型的全局二值拟合能量项.对于任意像素点x, 解过程进行分析改进。首先，分析活动轮廓模型中 x∈2，其拟合项能量泛函： 基于全局信息的CV模型，以及基于局部信息的 FImE K(x-y)*1I(y)-fi(x)dy+ LBF模型、LIF模型。使用二阶、三阶Runge-Kuta inside(C) 方法，并与Euler方法进行对比实验。主要围绕LBF K.(x-y)*1I(y)-f5(x)12dy(6) 模型中平滑项系数，时间步长的选取进行讨论。最 outside(C) 后通过对非同质图像和同质灰度图像的实验结果分 式中：轮廓曲线将图像分为区域内和区域外。(x) 和f,(x)分别为像素点x在区域内和区域外的灰度 析表明，该模型能够有效地提高数值求解的迭代次 拟合值，具体由像素点x邻域内各个像素点所确定。 数，计算效率高，对不同系数，时间步长的稳定性好。 K(x-y)是标准差为σ的高斯核函数，通常取式 1活动轮廓模型 (7)表达式： 1.1基于全局区域信息的CV模型 K,(x-y)=- (7) 经典CV模型[s)是简化Mumford-Shah模型，由 20p(~ 2σ2 学者Chan和Vese提出的一种利用图像区域信息的 当σ的取值过大时，计算量增大：而σ的取值 灰度图像分割方法。在能量泛函中添加了面积项 过小时，获取局部区域灰度变化信息的能力降低，一 Area(inside(C))和Mumford-Shah模型中原有的长 般取5。 度项Length(C)一起推动演化曲线到达分割物体 关于嵌入函数φ(·)的能量泛函最小值得到 的边界。求解过程中使用变分水平集方法，最小化 f(x)和f(x): 能量泛函，通过Euler-Lagrange方法进行迭代数值求 f(x)= K.(x-y)*[H。(P(x))I(x)] (8) 解。定义能量泛函为 K。(x-y)*H(p(x)) E(c1,c2,C)=nu Length(C)+ f3(x)= K,-)*[1,(e()1x)]（9) y·Area(inside(C))+F (1) K.(x-y)*(1-H(p(x))) 式中：u,y≥0为权重系数，1(x,y)为待分割图 局部图像拟合(LIF)模型是基于LBF提出的改 像，Length(C)表示边界曲线C的长度项， 进区域活动轮廓模型，利用分片光滑函数近似待分 Area(inside(C))为曲线C的内部区域的面积项， 割图像。与LBF模型相类似，LF模型采用了像素 F为活动轮廓线运动的基于全局信息的拟合项： 点和邻域像素点差值来拟合能量。最后采用高斯滤 波器，使得模型对噪声具有较好的鲁棒性和平滑性。 Fm=+入，lo(x,y)-c,dxdy+ 其能量泛函的水平集形式可以表示： inside (C) 入， I 1o(x,y)-c21'dxdy (2) EF(中)= 211)-1(x)12d (10) outside(C)着耗时长、效率低以及易于陷入局部极小值等问题。 针对模型的改进，李春明等［４］ 提出的处理强度不均 匀图像的局部二元拟合模型；此外，潘改等［５］ 结合 了 ＬＢＦ 模型和 ＧＡＣ 活动轮廓模型这 ２ 种方法，能有 效地处理弱边界图像的分割；张开华等［６］ 提出的局 部图像拟合模型，基于高斯滤波的变分水平集方法 来处理强度不均匀的图像分割；刘瑞娟等［７］ 提出的 融合局部和全局信息的活动轮廓模型方法；王小峰 等［８］提出了一种局部 ＣＶ 活动模型，将局部图像信 息融入到模型中。 对于数值求解方面的改进，如牛 顿方法、与置信域相结合的一般牛顿方法［９］ 以及在 此基础上的改进牛顿方法。 此外还有二阶、三阶 Ｒｕｎｇｅ⁃Ｋｕｔｔａ 方法［１０］ 在 ＣＶ 模型上的应用。 这些算 法都能有效地增加了模型的求解速度，并针对不同 的问题都有所改进。 目前，ＣＶ 模型被广泛地应用 于医学图像分割，并具有很好的发展前景。 本文在优化模型的同时，主要对模型的数值求 解过程进行分析改进。 首先，分析活动轮廓模型中 基于全局信息的 ＣＶ 模型，以及基于局部信息的 ＬＢＦ 模型、ＬＩＦ 模型。 使用二阶、三阶 Ｒｕｎｇｅ⁃Ｋｕｔｔａ 方法，并与 Ｅｕｌｅｒ 方法进行对比实验。 主要围绕 ＬＢＦ 模型中平滑项系数，时间步长的选取进行讨论。 最 后通过对非同质图像和同质灰度图像的实验结果分 析表明，该模型能够有效地提高数值求解的迭代次 数，计算效率高，对不同系数，时间步长的稳定性好。 １ 活动轮廓模型 １．１ 基于全局区域信息的 ＣＶ 模型 经典 ＣＶ 模型［５］ 是简化 Ｍｕｍｆｏｒｄ⁃Ｓｈａｈ 模型，由 学者 Ｃｈａｎ 和 Ｖｅｓｅ 提出的一种利用图像区域信息的 灰度图像分割方法。 在能量泛函中添加了面积项 Ａｒｅａ (ｉｎｓｉｄｅ (Ｃ) ) 和 Ｍｕｍｆｏｒｄ⁃Ｓｈａｈ 模型中原有的长 度项 Ｌｅｎｇｔｈ（Ｃ） 一起推动演化曲线到达分割物体 的边界。 求解过程中使用变分水平集方法，最小化 能量泛函，通过 Ｅｕｌｅｒ⁃Ｌａｇｒａｎｇｅ 方法进行迭代数值求 解。 定义能量泛函为 Ｅ ｃ１ ，ｃ ( ２ ，Ｃ) ＝ ｎｕ·Ｌｅｎｇｔｈ(Ｃ) ＋ γ·Ａｒｅａ (ｉｎｓｉｄｅ (Ｃ) ) ＋ Ｆ ｃｖ （１） 式中： μ，γ ≥ ０ 为权重系数， Ｉ０ (ｘ，ｙ) 为待分割图 像， Ｌｅｎｇｔｈ（Ｃ） 表 示 边 界 曲 线 Ｃ 的 长 度 项， Ａｒｅａ (ｉｎｓｉｄｅ (Ｃ) ) 为曲线 Ｃ 的内部区域的面积项， Ｆ ｃｖ 为活动轮廓线运动的基于全局信息的拟合项： Ｆ ｃｖ ＝ ＋ λ１ ∫ ｉｎｓｉｄｅ (Ｃ ) Ｉ０ (ｘ，ｙ) － ｃ１ ２ ｄｘｄｙ ＋ λ２ ∫ ｏｕｔｓｉｄｅ（Ｃ） ｜ Ｉ０ (ｘ，ｙ) － ｃ２ ｜ ２ ｄｘｄｙ （２） 式中： ｃ１ 、ｃ２ 为活动轮廓线内部和外部的强度均值： ｃ１ ＝ ∫ Ω Ｉ(ｘ，ｙ) Ｈ(ϕ(ｘ，ｙ) ) ｄｘｄｙ ∫ Ω Ｋ·Ｈ(ϕ(ｘ，ｙ) ) ｄｘｄｙ （３） ｃ２ ＝ ∫ Ω Ｉ(ｘ，ｙ) (１⁃Ｈ(ϕ(ｘ，ｙ) ) ) ｄｘｄｙ ∫ Ω Ｋ·(１⁃Ｈ(ϕ(ｘ，ｙ) ) ) ｄｘｄｙ （４） 式中： Ｈ（·） 为 Ｈｅｓｓｉａｎ 函数。 最终的分割轮廓线 Ｃ 的位置及未知常量 ｃ１ 、ｃ２ 通过最优化能量泛函得到： Ｅ Ｃ ０ ，ｃ１ ０ ，ｃ２ ０ { } ＝ ＭｉｎＣ，ｃ１ ｃ２ Ｅ Ｃ，ｃ１ ，ｃ２ ( ) （５） １．２ 基于局部区域信息的 ＬＢＦ 模型及 ＬＩＦ 模型 李春明等［４］提出的局部二元拟合模型，有效地 解决了 Ｃ⁃Ｖ 模型难以准确分割强度不均匀图像的 问题，该模型使用了图像的局部信息，引入一个以高 斯函数为核函数的局部二值拟合能量泛函代替 Ｃ⁃Ｖ 模型的全局二值拟合能量项．对于任意像素点 ｘ， ｘ ∈Ω ，其拟合项能量泛函： Ｆ ＬＢＦ ｘ ＝ ∫ ｉｎｓｉｄｅ (Ｃ ) Ｋσ（ｘ － ｙ） ∗ Ｉ(ｙ) － ｆ １（ｘ） ２ ｄｙ ＋ ∫ ｏｕｔｓｉｄｅ（Ｃ） Ｋσ (ｘ － ｙ) ∗ ｜ Ｉ(ｙ) － ｆ ２（ｘ） ｜ ２ ｄｙ （６） 式中：轮廓曲线将图像分为区域内和区域外。 ｆ １（ｘ） 和 ｆ ２（ｘ） 分别为像素点 ｘ 在区域内和区域外的灰度 拟合值，具体由像素点 ｘ 邻域内各个像素点所确定。 Ｋσ（ｘ － ｙ） 是标准差为 σ 的高斯核函数，通常取式 （７）表达式： Ｋσ (ｘ － ｙ) ＝ １ ２πσ ｅｘｐ （ － （ｘ － ｙ） ２ ２ σ ２ ） （７） 当 σ 的取值过大时，计算量增大；而 σ 的取值 过小时，获取局部区域灰度变化信息的能力降低，一 般 σ 取 ５。 关于嵌入函数 φ（·） 的能量泛函最小值得到 ｆ １（ｘ） 和 ｆ ２（ｘ） ： ｆ １ (ｘ) ＝ Ｋσ (ｘ － ｙ) ∗［Ｈϕ (φ(ｘ) ) Ｉ（ｘ）］ Ｋσ (ｘ － ｙ) ∗ Ｈϕ (φ(ｘ) ) （８） ｆ ２ (ｘ) ＝ Ｋσ (ｘ － ｙ) ∗［１⁃Ｈϕ (φ(ｘ) ) Ｉ（ｘ）］ Ｋσ (ｘ － ｙ) ∗ （１⁃Ｈϕ (φ(ｘ) ) ） （９） 局部图像拟合（ＬＩＦ）模型是基于 ＬＢＦ 提出的改 进区域活动轮廓模型，利用分片光滑函数近似待分 割图像。 与 ＬＢＦ 模型相类似，ＬＩＦ 模型采用了像素 点和邻域像素点差值来拟合能量。 最后采用高斯滤 波器，使得模型对噪声具有较好的鲁棒性和平滑性。 其能量泛函的水平集形式可以表示： Ｅ ＬＩＦ (ϕ) ＝ １ ２ ∫ Ω ｜ Ｉ(ｘ) ⁃ Ｉ ＬＩＦ （ｘ） ｜ ２ ｄｘ （１０） 第 ６ 期 廖翠萃，等：数值求解优化问题在活动轮廓模型上的应用 ·８８７·