·888· 智能系统学报 第10卷 综上所述，LBF、F模型和C-V模型都是求取全 对于Euler-Lagrange方程的数值求解，传统的方 局最小的能量泛函，因此对乘性噪声都具有良好的抗 法是采用Euler方法，本文将采用二阶、三阶Runge- 噪性，能分割弱边界或者无边界的图像目标，并且初 Kuta方法，这2类数值方法的构造思想如下。 始曲线可设置在图像任意位置。与C-V模型相比， 2.1 Euler方法 LBF方法和LF方法的高斯核函数能获得图像灰度 对于给定的初始条件的微分方程y(t)= 变化的信息，能更准确分割灰度不均匀的图像。LBF ft,y(t)),y(to)=yo,Euler方法迭代求解过程为 方法的能量泛函是以全局误差平方和最小的准则建 y1=y+△t*f,y),n≥0(15) 立起来的，在实际中得到广泛应用。F在LBF的基 式中：f(t,y)为Euler--Lagrange方程。对活动轮廓 础上，对含有噪声图像的处理结果更加理想。 模型数值求解时，Euler方法的格式为 但是，上述模型在分割灰度值不均匀的复杂图 φ°=initial C 像时，真实的目标和背景的误差平方和往往不是全 bm1=中”+△t*L(中")，n=0,1,…,iter 局最小，而是局部最小。因此，模型的能量泛函不能 (16) 准确描述复杂图像的目标和背景的特征，容易产生 式中：iter为迭代次数。Euler方法形式简单、计算速 错误分割，或者陷入局部极小值的情况。本文从数 度快、易于求解，但其在数值精度和数值稳定性方面 值求解优化的角度出发，使用高精度的二阶、三阶 表现较弱。 Runge-Kutta方法，对CV模型、LBF模型、RIF模型 2.2 Runge--Kutta方法 的数值求解进行讨论分析，加快模型的收敛速度，在 二阶Runge-.Kutta可以表示为 更少的迭代次数内得到更为精确的数值解。 =y+△t*ft”,y") 2 数值求解方法 n+1 △t 本文使用二阶、三阶Runge-Kuta方法，对活动 =y+2*)+f,) 轮廓模型中有代表性的CV模型、LBF模型、LIF模 (17) 型的数值求解问题进行讨论分析。 对活动轮廓模型数值求解时，二阶RK格式为 对活动轮廓模型迭代求解时，使用水平集变分 [d°=initial(C) 法对能量泛函求解，原始CV模型及LBF模型能量 b1=中”+△t*L(中) (18) 泛函均可简化写为 b+1=中”+W2(Φ)，n=0,l,…,iter E(c1,c2,C)=nu·Length(C)+F拟合项(11) 水平集函数初始化定义为 式中：W,()=合*（亿(0）+L6)）。 2 C=0={(x,y）∈2：φ(x,y）=0} 三阶RK格式为 inside(C)=w={(x,y)∈2：中(x,y)>0} [b°=initial(C) outside(C)=2八w={(x,y)∈2：中(x,y)<0} (12) 中m+1=中”+△t*L(中") 变分法最小化能量泛函E使用Heaviside函数： △t (19) (1,z≥0 时=+会*()+) H(z)= (13) (0,z<0 bm*1=中"+W3(b),n=0,1,…,iter 及一维的Dirac函数δ(e)= dH(z) ,使用变分水平集 W(中)= dz 幸（亿（中）+L(6)+2L()。 6 方法对能量泛函极小化，可得Euler-Lagrange方程： Runge-Kuta方法是求解非线性微分方程的重 OE 要数值迭代方法，是Euler方法的一种推广。它提 L(中")= =-8(中) 7中） a她 nu·div 十F拟合项 高了计算收敛精度，缩小截断误差，并且具有更好的 (14) 稳定性。Runge-Kutta方法的导出基于Taylor展开， 计算时，采用正则化函数H(z)= 对所求问题的解具有较好的光滑度，可以使近似公 及6.a)=1. 式达到所需要的阶数，并且能够有效提高方法的精 62+22,6→ 度。计算时使用Euler-Lagrange函数在若干点上函 0代替H(z)和8(z)。 数值的线性组合来构造近似公式，因此会在时间复综上所述，ＬＢＦ、ＬＩＦ 模型和 Ｃ⁃Ｖ 模型都是求取全 局最小的能量泛函，因此对乘性噪声都具有良好的抗 噪性，能分割弱边界或者无边界的图像目标，并且初 始曲线可设置在图像任意位置。 与 Ｃ⁃Ｖ 模型相比， ＬＢＦ 方法和 ＬＩＦ 方法的高斯核函数能获得图像灰度 变化的信息，能更准确分割灰度不均匀的图像。 ＬＢＦ 方法的能量泛函是以全局误差平方和最小的准则建 立起来的，在实际中得到广泛应用。 ＬＩＦ 在 ＬＢＦ 的基 础上，对含有噪声图像的处理结果更加理想。 但是，上述模型在分割灰度值不均匀的复杂图 像时，真实的目标和背景的误差平方和往往不是全 局最小，而是局部最小。 因此，模型的能量泛函不能 准确描述复杂图像的目标和背景的特征，容易产生 错误分割，或者陷入局部极小值的情况。 本文从数 值求解优化的角度出发，使用高精度的二阶、三阶 Ｒｕｎｇｅ⁃Ｋｕｔｔａ 方法，对 ＣＶ 模型、ＬＢＦ 模型、ＲＩＦ 模型 的数值求解进行讨论分析，加快模型的收敛速度，在 更少的迭代次数内得到更为精确的数值解。 ２ 数值求解方法 本文使用二阶、三阶 Ｒｕｎｇｅ⁃Ｋｕｔｔａ 方法，对活动 轮廓模型中有代表性的 ＣＶ 模型、ＬＢＦ 模型、ＬＩＦ 模 型的数值求解问题进行讨论分析。 对活动轮廓模型迭代求解时，使用水平集变分 法对能量泛函求解，原始 ＣＶ 模型及 ＬＢＦ 模型能量 泛函均可简化写为 Ｅ ｃ１ ，ｃ ( ２ ，Ｃ) ＝ ｎｕ·Ｌｅｎｇｔｈ(Ｃ) ＋ Ｆ拟合项 （１１） 水平集函数初始化定义为 Ｃ ＝ ∂ｗ ＝ { (ｘ，ｙ) ∈ Ω：ϕ(ｘ，ｙ) ＝ ０} ｉｎｓｉｄｅ (Ｃ) ＝ ｗ ＝ { (ｘ，ｙ) ∈ Ω：ϕ(ｘ，ｙ) ＞ ０} ｏｕｔｓｉｄｅ (Ｃ) ＝ Ω＼ｗ ＝ { (ｘ，ｙ) ∈ Ω：ϕ(ｘ，ｙ) ＜ ０} ì î í ïï ïï （１２） 变分法最小化能量泛函 Ｅ 使用 Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ 函数： Ｈ(ｚ) ＝ １，ｚ ≥ ０ ０，ｚ ＜ ０ { （１３） 及一维的 Ｄｉｒａｃ 函数 δ(ｚ) ＝ ｄＨ（ｚ） ｄｚ ，使用变分水平集 方法对能量泛函极小化，可得 Ｅｕｌｅｒ⁃Ｌａｇｒａｎｇｅ 方程： Ｌ ϕ ｎ ( ) ＝ ∂Ｅ ∂ϕ ＝ － δ (ϕ) ｎｕ·ｄｉｖ Ñϕ Ñϕ æ è ç ö ø ÷ ＋ Ｆ拟合项 é ë ê ê ù û ú ú （１４） 计 算 时， 采 用 正 则 化 函 数 Ｈε (ｚ) ＝ １ ２ １ ＋ ２ π ａｒｃｔａｎ ｚ ε æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ ，及 δε (ｚ) ＝ １ π · ε ε ２ ＋ ｚ ２ ，ε → ０ 代替 Ｈ（ｚ） 和 δ（ｚ） 。 对于 Ｅｕｌｅｒ⁃Ｌａｇｒａｎｇｅ 方程的数值求解，传统的方 法是采用 Ｅｕｌｅｒ 方法，本文将采用二阶、三阶 Ｒｕｎｇｅ⁃ Ｋｕｔｔａ 方法，这 ２ 类数值方法的构造思想如下。 ２．１ Ｅｕｌｅｒ 方法 对于给 定 的 初 始 条 件 的 微 分 方 程 ｙ′(ｔ) ＝ ｆ(ｔ，ｙ (ｔ) ) ，ｙ ｔ ０ ( ) ＝ ｙ０ ，Ｅｕｌｅｒ 方法迭代求解过程为 ｙ ｎ＋１ ＝ ｙ ｎ ＋ △ｔ∗ｆ ｔ ｎ ，ｙ ｎ ( ) ，ｎ ≥ ０ （１５） 式中： ｆ ｔ ｎ ，ｙ ｎ ( ) 为 Ｅｕｌｅｒ⁃Ｌａｇｒａｎｇｅ 方程。 对活动轮廓 模型数值求解时，Ｅｕｌｅｒ 方法的格式为 ϕ ０ ＝ ｉｎｉｔｉａｌ Ｃ ϕ ｎ＋１ ＝ ϕ ｎ ＋ △ｔ∗Ｌ ϕ ｎ ( ) ，ｎ ＝ ０，１，…，ｉｔｅｒ { （１６） 式中：ｉｔｅｒ 为迭代次数。 Ｅｕｌｅｒ 方法形式简单、计算速 度快、易于求解，但其在数值精度和数值稳定性方面 表现较弱。 ２．２ Ｒｕｎｇｅ⁃Ｋｕｔｔａ 方法 二阶 Ｒｕｎｇｅ⁃Ｋｕｔｔａ 可以表示为 ｙ ｎ＋１ ⁃ ＝ ｙ ｎ ＋ △ｔ∗ｆ ｔ ｎ ，ｙ ｎ ( ) ｙ ｎ＋１ ＝ ｙ ｎ ＋ △ｔ ２ ∗ ｆ ｔ ｎ ，ｙ ｎ ( ) ＋ ｆ ｔ ｎ＋１ ，ｙ ｎ＋１ ⁃ ( ( ) ) ì î í ï ï ïï （１７） 对活动轮廓模型数值求解时，二阶 ＲＫ 格式为 ϕ ０ ＝ ｉｎｉｔｉａｌ （Ｃ） ϕ ｎ＋１ ＝ ϕ ｎ ＋ △ｔ∗Ｌ ϕ ｎ ( ) ϕ ｎ＋１ ＝ ϕ ｎ ＋ Ｗ２ (ϕ) ，ｎ ＝ ０，１，…，ｉｔｅｒ ì î í ï ï ï ï （１８） 式中： Ｗ２ (ϕ) ＝ △ｔ ２ ∗ Ｌ ϕ ｎ ( ) ＋ Ｌ ϕ ｎ＋１ ( ( ) ) 。 三阶 ＲＫ 格式为 ϕ ０ ＝ ｉｎｉｔｉａｌ （Ｃ） ϕ ｎ＋１ ＝ ϕ ｎ ＋ △ｔ∗Ｌ ϕ ｎ ( ) ϕ ｎ＋ １ ２ ＝ ϕ ｎ ＋ △ｔ ４ ∗ Ｌ ϕ ｎ ( ) ＋ Ｌ ϕ ｎ＋１ ( ( ) ) ϕ ｎ＋１ ＝ ϕ ｎ ＋ Ｗ３ (ϕ) ，ｎ ＝ ０，１，…，ｉｔｅｒ ì î í ï ï ïï ï ï ïï （１９） Ｗ３ (ϕ) ＝ △ｔ ６ ∗ Ｌ ϕ ｎ ( ) ＋ Ｌ ϕ ｎ＋１ ( ) ＋ ２Ｌ ϕ ｎ＋ １ ( ( ２ ) ) 。 Ｒｕｎｇｅ⁃Ｋｕｔｔａ 方法是求解非线性微分方程的重 要数值迭代方法，是 Ｅｕｌｅｒ 方法的一种推广。 它提 高了计算收敛精度，缩小截断误差，并且具有更好的 稳定性。 Ｒｕｎｇｅ⁃Ｋｕｔｔａ 方法的导出基于 Ｔａｙｌｏｒ 展开， 对所求问题的解具有较好的光滑度，可以使近似公 式达到所需要的阶数，并且能够有效提高方法的精 度。 计算时使用 Ｅｕｌｅｒ⁃Ｌａｇｒａｎｇｅ 函数在若干点上函 数值的线性组合来构造近似公式，因此会在时间复 ·８８８· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷