to=Sup{s∈[01(()=f((0)=f(x0,y0,t∈[0,s]} 则to>0,且由f(y(t)的连续性,有f(y(t0)=f(x0,y)。 由于y(a)∈D,根据上面的证明,存在y(t)的邻域O(y(t)),使 得O((0)cD,且对于一切(xy)∈Oy(a),r),成立 f(x,y)=f(y(t0)=f(x0,y0) 如果t0<1,由y()的连续性可知,对于充分小的△t>0,有t+M<1 及y(t0+△A)∈O(n),r),从而又成立f((+△)=f(y(t0)=f(x2,y), 这与t的定义矛盾,于是必有t=1。所以 f(x,y)=f((1)=f((0)=f(x0,y0), 即f(x,y)在D上是常值函数。记 ]},0[),,())0(())((|]1,0[sup{ 0 00 = ∈ γ = γ = ∈ styxfftfst ， 则 0 t0 > ，且由 γ tf ))(( 的连续性，有 ),())(( 0 00 γ = yxftf 。 由于 0 γ ( ) t ∈ D ，根据上面的证明，存在 )( 0 γ t 的邻域 )),(( 00 γ rtO ，使 得 γ rtO 00 )),(( ⊂ D，且对于一切 yx ),( ∈ )),(( 00 γ rtO ，成立 yxf ),( = ),())(( 0 00 γ = yxftf 。 如果 1 t0 < ，由γ t)( 的连续性可知，对于充分小的Δt > 0，有 1 0 + Δtt < 及 )),(()( 0 00 γ + ∈Δ γ rtOtt ，从而又成立 ))(( 0 γ + Δttf ),())(( 0 00 = γ = yxftf ， 这与 0t 的定义矛盾，于是必有 1 t0 = 。所以 ),())0(())1((),( 00 = γ = γ = yxfffyxf ， 即 yxf ),( 在D上是常值函数