多元函数微分学 10二元函数及其极限与连续 、z=f(xy),定义域为平面上某一个平面域 几何上z=f(xy)为空间一张曲面。 2、二元函数极限P186 例1、讨论函数 4x2 +y2≠0 在(0,0)极限是否存 在 解:li lim4x.K4x =lim-4K2x2 x2)x+0(kx+x 2K 而lm=4:f(ky)在(0.0极限不存在 3、连续P187 2多元函数的偏导数与全微分 1、偏导数 定义:z=f(xy)在点(x0,y)处对x的偏导数, z0 4/21 x=xo, f. y y=yo y=yo 即:f(xa,y0) f(x。+Axya)-f(x,y0) 同理:f(n,)=nftn+y)-fn,) y ff在(xa,y)存在,称z=f(xy)在(x,y)可导。 例1、z=xy,求 解多元函数微分学 1 0 二元函数及其极限与连续 1、 z = f(x, y) ，定义域为平面上某一个平面域 几何上 z = f(x, y) 为空间一张曲面。 2、二元函数极限 P186 例 1、讨论函数 ( ) ( ) (0,0) x y 0 x y 0 0 y x 4x y f x, y 2 2 2 2 2 4 2 2 4 在 + = +       + = 极限是否存 在。 解： ( ) ( ) ( ) 0 x K 1 4K x lim K x x 4x K x lim y x 4x y lim 2 2 4 2 2 0 2 4 4 2 2 4 4 0 2 4 2 2 4 x y 0 2 = + = +  = + → → = x→ x x 而 ( ) 4 y y 4y y lim 2 4 4 4 4 2 x y x 0 = +  = → ∴ f(x y) 在(0,0)极限不存在. 3、连续 P187 2 0 多元函数的偏导数与全微分 1、偏导数 定义： ( ) ( ) 0 y0 z = f x, y 在点 x , 处对 x 的偏导数， 记作： ( ) 1 0 0 y y0 x x x0 y y0 x x0 y y0 x x0 , z , f x , y x f , x z       = = = = = = 即： ( ) ( ) ( ) x f x x, y f x , y f x , y lim 0 0 0 0 x 0 x 0 0  +  −  =  → 同理： ( ) ( ) ( ) y f x , y y f x , y f x , y lim 0 0 0 0 y 0 y 0 0  +  −  =  → ( ) x y 0 y0 f ,f 在 x , 存在，称 ( ) ( ) 0 y0 z = f x, y 在 x , 可导。 例 1、 y z , x z z x , y     = 求 解： x lnx y z yx , x z y 1 y =   =   −