P(,y)dx+O(x,y)dy=- P(x,y)dx+O(x,y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 对坐标的曲线积分的计算 设P(x,yQ(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数 方程 =q(D) 当参数单调地由a变到时,点M(x,y)从L的 y=v(1) 起点4沿L运动到终点B,o(t),v(1)在以a及B为端点的闭区间 上具有一阶连续导数,且g2()+y2(1)≠0,则曲线积分 P(xy)k+(xy存在 且Pxy)k+xy)=[{Powo)()+ooy(o)ht 特殊情形 (1):y=y(x)x起点为a,终点为b 则∫P+②b=∫Px(x)+Cx(x)y(x) (2)L:x=x(y)y点为c,终点为d 则∫Ph+b=xy)y()+Cxy)yb x=o(t) (3)推广 y=v(D),t起点 终点B [Pdk+ab+R={P0)(.o()p( +Q(),v(1),o()y(t)+[o(t),v(,o()jo')}dt (4)两类曲线积分之间的联系: 「x=o() 设有向平面曲线弧为1y=v(0 L上点(x,y)处的切线向量的方向角为a,B, 则P+Qb-(Pcsa+os)d 其中cosa= B √q2(m)+v"(t) 2()+y2(t) (可以推广到空间曲线上 r上点(x,y,=)处的切线向量的方向角为a,B,y,4   + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 三、对坐标的曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, , ( ), ( ) , ( , ) ( ), ( ), ( , ), ( , ) , 2 2 存在 上具有一阶连续导数 且 则曲线积分 起点 沿 运动到终点 在以 及 为端点的闭区间 方程为 当参数 单调地由 变到 时 点 从 的 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数  +  +      = = L P x y dx Q x y dy t t A L B t t t M x y L y t x t P x y Q x y L L           P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt L ( , ) ( , ) { [( ),( )] ( ) [( ),( )] ( )}   + =  +  且  特殊情形 (1) L: y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = +  (2) L: x = x(y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x(y), y]x (y) Q[x(y), y]}dy. d L c 则 + =  + , , . ( ) ( ) ( ) (3) :      推广 t起点 终点 z t y t x t      = = =  Q t t t t R t t t t dt Pdx Qdy Rdz P t t t t [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( )} { [ ( ), ( ), ( )] ( )               +  +  + + =    (4) 两类曲线积分之间的联系： , ( ) ( )    = = y t x t L   设有向平面曲线弧为 ： L上点(x, y)处的切线向量的方向角为, ,   + = + L L 则 Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds 其中 , ( ) ( ) ( ) cos 2 2 t t t      +   = , ( ) ( ) ( ) cos 2 2 t t t      +   = （可以推广到空间曲线上 ） 上点(x, y, z)处的切线向量的方向角为, , 