证任给E>0,由于 丌 arctan x <￡ (2) 等价于-E 2anrE,而此不等式的左半部分对任何x都成立,所以只 要考察其右半部分x的变化范围。为此,先限制ε<一,则有 x< tan 8 兀\=-tar E 故对任给的正数E(<z,只须取M=m(zx-,则当x<-M时便有(2)式 成立。这就证明了1)。类似地可证2)。 注由结论(1)可知,当x→>∞时 arctan x不存在极限。证 任给  0，由于          − − 2 arctan x （2） 等价于 2 arctan 2    −  −  x  − ，而此不等式的左半部分对任何 x 都成立，所以只 要考察其右半部分 x 的变化范围。为此，先限制 2    ，则有        = − −       −     2 tan 2 x tan 故对任给的正数        2  ，只须取       = −   2 M tan ，则当 x  −M 时便有（2）式 成立。这就证明了 1）。类似地可证 2）。 注 由结论（1）可知，当 x → 时arctan x 不存在极限