银川科技职业学院《高签数学》救未 第土一童无穷级邀 解设1.这时≥，而调和级数1发散，由比较审敛法知，当p1时 np n 级数乞1发散. nsi np 设p>1.此时有 -≤0h=p-10=23 对于级轻套共分和 Gr 因为愈5-aH 700 所以级数2]收敛.从而根据比较审敛法的推论1可知，级数 m32(0n-l0p- 三吉当1收效 综上所述，P一级数2当心1时收敛，当ps1时发散 例2证明级数 1 是发散的. =iVn(n+1) 证因为 1 1 1 n(n+1)(n+1)2 n+1' 而级数2山=号++…+1+…是发散的， mn+123 n+1 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的， 定理3（比较审敛法的极限形式） 设足，和都是正项级数， n=1 =1 (1)如果1m=1(0≤1k<+o,且级数∑yn收敛，则级数∑4n收敛； n→o1n 三1 三】 (2)如果m=1>0或m=+0,且级数2n发散，则级数24，发散 m-→oVn n=l n=1 第7页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 7 页 解 设 p1 这时 n n p 1 1   而调和级数   1 1 n n 发散 由比较审敛法知 当 p1 时 级数 p n n 1 1    发散 设 p1 此时有 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1       p p n n p n p n p p n n dx x dx n n (n2, 3,   ) 对于级数 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 2        p p n n n  其部分和 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ] 1 ( 1) 1 1 ] [ 3 1 2 1 ] [ 2 1 [1                   n p p p p p p n n n s  因为 ] 1 ( 1) 1 lim lim [1 1        p n n n n s  所以级数 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 2        p p n n n 收敛 从而根据比较审敛法的推论 1 可知 级数 p n n 1 1    当 p1 时收敛 综上所述 p级数 p n n 1 1    当 p1 时收敛 当 p1 时发散 例 2 证明级数   1 ( 1) 1 n n n 是发散的 证 因为 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2     n n n n  而级数 1 1 3 1 2 1 1 1 1             n n n 是发散的 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的 定理 3 (比较审敛法的极限形式) 设   n1 n u 和   n1 n v 都是正项级数 (1)如果 l v u n n n   lim (0l) 且级数   n1 n v 收敛 则级数   n1 n u 收敛 (2)如果      n n n n n n v u l v u lim 0或lim  且级数   n1 n v 发散 则级数   n1 n u 发散