银川科技职业学院《高慈数学》教宋 第土一童无穷级邀 §11.2常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数， 定理1正项级数∑4n收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界. n=1 定理2比较审敛法)设元4，和公，都是正项级数，且私≤.(=l,2,·人 n=1 n=1 若级数∑yn收敛，则级数∑4n收敛；反之，若级数∑4n发散，则级数∑n发 =1 =】 n=】 n=1 散。 证 设级数∑yn收敛于和o,则级数∑山n的部分和 n=1 n=1 Sm=41+l2+··+4m≤y1+y2+··+yn≤o(=1,2,·), 即部分和数列{5}有界，由定理1知级数24，收敛. 反之， 设级数山，发散，则级数2，必发散。因为若级数 n=l ，收敛，由上已证明的结论，将有级数足弘，也收敛，与假设矛盾。 =1 n=1 推论设4，和.都是正项级数，如果级数，收敛，且存在自然数 n=l n=1 n=l N,使当≥N时有n≤k0)成立，则级数∑4n收敛；如果级数∑n发散，且 n= n=l 当2N时有≥k,60)成立，则级数24，发散。 例1讨论p-级数 n= 2+3+4+…+ .. 的收敛性，其中常数p>0. 第6页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 6 页 §11 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 定理 1 正项级数   n1 n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界 定理 2(比较审敛法)设   n1 n u 和   n1 n v 都是正项级数 且 unvn (n1 2    ) 若级数   n1 n v 收敛 则级数   n1 n u 收敛 反之 若级数   n1 n u 发散 则级数   n1 n v 发 散 证 设级数   n1 n v 收敛于和  则级数   n1 n u 的部分和 snu1u2    unv1 v2    vn (n1, 2,   ) 即部分和数列{sn}有界 由定理 1 知级数   n1 n u 收敛 反之 设级数   n1 n u 发散 则级数   n1 n v 必发散 因为若级数   n1 n v 收敛 由上已证明的结论 将有级数   n1 n u 也收敛 与假设矛盾 推论 设   n1 n u 和   n1 n v 都是正项级数 如果级数   n1 n v 收敛 且存在自然数 N 使当 nN 时有 unkvn(k0)成立 则级数   n1 n u 收敛 如果级数   n1 n v 发散 且 当 nN 时有 unkvn(k0)成立 则级数   n1 n u 发散 例 1 讨论 p级数 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1             p p p p p n n n 的收敛性 其中常数 p0