银川科技职业学院《高签数学》教未 第土一童无穷级邀 比如，级数站4中 11 1 +…是收敛的， n+1) 级数10000+，1+1+1 2*2334*…+ +…也是收敛的， n(n+1) 级数、 1 3445+…+ 1 +…也是收敛的。 n(n+) 性质4如果级数立山，收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍 n=l 收敛，且其和不变 应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来 的级数也收敛.例如，级数 (1-1)+(1-1)+.收敛于零，但级数1-1+1-1+·却是发散的. 推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散 级数收敛的必要条件： 性质5如果∑4n收敛，则它的一般项，趋于零，即m4,=0. 1=l >0 (性质5的等价命题：若limn≠0，则级数∑n发散) →0 n=I 证 设级数∑4n的部分和为s,且imSn=s,则 n=1 1-→00 lim un=lim (Sn-Sn-1)=lim Sn-lim Sn-1=s-s=0. n-0 1-00 7→00 应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例4证明调和级数 +1L++1+…是发散的。 =1+与t3++ n 证假若级数l收敛且其和为5，n是它的部分和， nin 显然有imSn=s及1m52m=S.于是m(2m-Sn)=0. 1-→00 -→00 1-0 但另一方面， s2m-5n=月 1+1 2n2, 故m心-S,)≠0，矛盾。这矛盾说明级数l必定发散 nin 第5页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 5 页 比如 级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1            n n 是收敛的 级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 10000             n n 也是收敛的 级数 ( 1) 1 4 5 1 3 4 1          n n 也是收敛的 性质 4 如果级数   n1 n u 收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍 收敛 且其和不变 应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来 的级数也收敛 例如 级数 (11)+(11) +  收敛于零 但级数 1111  却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 级数收敛的必要条件 性质 5 如果   n1 n u 收敛 则它的一般项 un 趋于零 即 lim 0 0   n n u  （性质 5 的等价命题：若 0 lim 0 n n u   ，则级数   n1 n u 发散 ） 证 设级数   n1 n u 的部分和为 sn 且 s s n n   lim  则 lim lim ( 1 ) lim lim 1 0 0              u s s s s s s n n n n n n n n n  应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例 4 证明调和级数 1 3 1 2 1 1 1 1            n n n 是发散的 证 假若级数   1 1 n n 收敛且其和为 s sn 是它的部分和 显然有 s s n n   lim 及 s s n n   2 lim  于是 lim ( 2  )0  n n n s s  但另一方面 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2               n n n n n n s s n n  故 lim ( 2  )0  n n n s s  矛盾 这矛盾说明级数   1 1 n n 必定发散