银川科技职业学院《高签数学》教未 第十一童无穷级邀 解由于 ☆ 因此 1 +1+1 n2+23+34+…+ 1 n+) nn+l' 从而 m-1, 1-→00 所以这级数收敛，它的和是1. 二、收敛级数的基本性质 性质1如果级数，收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级 1=1 数2k,也收敛，且其和为ks.(如果级数24，收敛于和s,则级数∑k,也收敛， n=1 n=】 n= 且其和为ks.) 这是因为，设24，与2k知，的部分和分别为5与0，则 00 n=1 lim on lim (ku+ku+...ku)=k lim (u+u+...u)=k lim s=ks. 110 这表明级数∑k4收敛，且和为ks. n=l 性质2如果级数2，、分别收敛于和s、。则级数，士，)也收敛， n=1 n=l n=l 且其和为s±o 这是因为，如果立4，、】 ，、立u,,)的部分和分别为、、则 n=1 =1 m= imtn=lim[(4±)+(w±2)+…+(u,±vn】 =lm[(4+山2+…+n)±(+2+…+vn】 =lm(sn±on)=s±o. 7→00 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性. 第4页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 4 页 解 由于 1 1 1 ( 1) 1      n n n n un  因此 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1           n n sn 1 1 ) 1 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1             n n n 从而 ) 1 1 1 lim lim (1       n s n n n  所以这级数收敛 它的和是 1 二、收敛级数的基本性质 性质 1 如果级数   n1 n u 收敛于和 s 则它的各项同乘以一个常数 k 所得的级 数   n1 n ku 也收敛 且其和为ks (如果级数   n1 n u 收敛于和s 则级数   n1 n ku 也收敛 且其和为 ks ) 这是因为 设   n1 n u 与   n1 n ku 的部分和分别为 sn 与n 则 lim lim ( ) 1 2 n n n n  ku ku  ku    k u u u k s ks n n n n        lim ( 1 2 ) lim  这表明级数   n1 n ku 收敛 且和为 ks 性质 2 如果级数   n1 n u 、  n1 n v 分别收敛于和 s、 则级数 ( ) 1 n n n  u v   也收敛 且其和为 s 这是因为 如果   n1 n u 、   n1 n v 、 ( ) 1 n n n  u v   的部分和分别为 sn、n、n 则 lim lim [( ) ( ) ( )] 1 1 2 2 n n n n n  u v  u v  u v    lim [( ) ( )] 1 2 n 1 2 n n  u u u  v v v       s s n n n lim ( )  性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性