银川科技职业学院《高签数学》教未 第十一童无穷级邀 .aq=ataq+aq+..+ap+. n=0 的敛散性，其中a≠0，q叫做级数的公比. 解如果q≠1，则部分和 Sn=atagtag?+...+agm-1=a-ag"a ag" 1-q1-q1-q 当水1时，因为一=已，所以此时级数三a叫收敛其和为号司 刀→00 n=0 当g1时，因为m,=0,所以此时级数2ag”发散。 n=0 如果ql,则当g=1时，S=na→o,因此级数∑ag发散； 开三0 当g=-1时，级数2ag成为 n=0 a-a+a-a+··, 时lq仁1时，因为sm随着n为奇数或偶数而等于a或零， 所以sn的极限不存在，从而这时级数∑ag”也发散. 7=0 综上所述，如果冰k1,则级数g收敛其和为台g:如果P1,则级数 1=0 2ag”发散. =0 仅当水1时，几何级数aga0收敛，其和为台g n=0 例2证明级数1+2+3+.+n+.. 是发散的. 证此级数的部分和为 n-l+2+3+…+n=n+ 2 显然，nmSn=o,因此所给级数是发散的. n-00 例3判别无穷级数名4+ 1 的收敛性」 nn+1) 第3页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 3 页 2 0            n n n aq a aq aq aq 的敛散性 其中 a0 q 叫做级数的公比 解 如果 q1 则部分和 q aq q a q a aq s a aq aq aq n n n n               1 1 1 2 1  当|q|1 时 因为 q a sn n    1 lim  所以此时级数 n n aq  0 收敛 其和为 q a 1  当|q|>1 时 因为   n n lim s  所以此时级数 n n aq  0 发散 如果|q|1 则当 q1 时 sn na 因此级数 n n aq  0 发散 当 q1 时 级数 n n aq  0 成为 aaaa    时|q|1 时 因为 sn 随着 n 为奇数或偶数而等于 a 或零 所以 sn 的极限不存在 从而这时级数 n n aq  0 也发散 综上所述 如果|q|1 则级数 n n aq  0 收敛 其和为 q a 1  如果|q|1 则级数 n n aq  0 发散 仅当|q|1 时 几何级数 n n aq  0 a0)收敛 其和为 q a 1  例 2 证明级数 123  n   是发散的 证 此级数的部分和为 2 ( 1) 1 2 3         n n sn n  显然   n n lim s  因此所给级数是发散的 例 3 判别无穷级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1            n n 的收敛性