2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数(D》期末考试卷 四、「分数 阅卷人 (10分)设U是n(>1)维线性空间v的非平凡子空间.求证: 存在V的子空间W,使得V=U⊕W 证明:因为U是V的非平凡子空间,因此可设1,52,…,5 是U的一个基,其中0≤r≤n.将51,2,…,5扩为V的基51,52,…,5,+1,5+2,…,5n, 令W=(5+1,5+2,…,5n),则V=UW 常见错误1设51,52,…,是V的基,则令U=(51,52,…,5),W=(5+1,5+2…,5)U为 已给定的子空间,未必恰由V的r个基向量张成 常见错误2循环证明.先承认补子空间W存在.W为未知的子空间,证明中应告知W是如 何获得的 五 分数阅卷人 (12分)设q是数域F上n维线性空间v的线性变换,α是V 中一个向量,且满足q"-1(a)≠0,qp(a)=0 (1)证明:aα,p(a),…,p-1(a)是V的一个基; (2)求φ在这个基下的矩阵. 证明:(1)因dimV=n,所以只要证明α,p(aα),…,qn-l(a)线性无关即可.事实上, 设a0+a19(a)+…+an-1gn-1(a)=0,将q-1同时作用于上式两边,结合p"=0, 有a0qpn-1≠0.因为qn-1(a)≠0,所以ao=0.从而a1p(a)+…+an-1q-1(a)=0,将q-同 时作用于上式两边,结合q=0,有a1qn-1≠0.因为q-1(a)≠0,所以a1=0.以此类推, 可得a0=a1 0. (2)q在α,q(ax),…,qp"-1(a)下的矩阵是 000 000 01 000 00 010 常见错误1只证明a,9(a),…,qn-1(a)线性无关,未指出由于dimV=n就推断a,p(a) ,q-1(a)是V的基.一个向量组要成为V的基,需验证以下三条中的两条:(1)向量组线 性无关;(2)V中任意向量可由该向量组线性表出;(3)向量组所含向量的个数恰为v的维 数 常见错误2设a0ax+a19(a)+…+an-1q-1(a)=0.等式两边同时乘以q(ax).概念不 清导致画蛇添足,应该是“将φn-1作用于等式两边”,此处不能出现a. 第4页,共7页2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú o! 分数 阅卷人 (10©) U¥n(> 1)ëÇ5òmVö²Öfòm. ¶y: 3VfòmW, ¶V = U LW. y²: œèU¥Vö²Öfòm, œdåξ1,ξ2,··· ,ξr ¥Uòáƒ, Ÿ•0 ≤ r ≤ n. Úξ1,ξ2,··· ,ξr*èVƒξ1,ξ2,··· ,ξr ,ξr+1,ξr+2,··· ,ξn, -W = hξr+1,ξr+2,··· ,ξni, KV = U LW. ~ÑÜÿ1 ξ1,ξ2,··· ,ξn¥Vƒ, K-U = hξ1,ξ2,··· ,ξri, W = hξr+1,ξr+2,··· ,ξni. Uè Æâ½fòm, ô7TdVráƒï˛‹§. ~ÑÜÿ2 ÃÇy². k´@÷fòmW3. Wèôfòm, y²•AwW¥X ¤º. ! 分数 阅卷人 (12©) ϕ ¥ÍçF ˛n ëÇ5òmV Ç5CÜ, α ¥V •òáï˛, Ö˜vϕ n−1 (α) 6= 0, ϕ n (α) = 0. (1) y²: α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α) ¥Vòáƒ; (2) ¶ϕ 3˘áƒe› . y²: (1) œdimV = n, §±êáy²α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α) Ç5Ã'=å. Ø¢˛, a0α + a1ϕ(α) + ··· + an−1ϕ n−1 (α) = 0, Úϕ n−1”ûä^u˛™¸>, (‹ϕ n = 0, ka0ϕ n−1 6= 0. œèϕ n−1 (α) 6= 0, §±a0 = 0. l a1ϕ(α)+···+an−1ϕ n−1 (α) = 0, Úϕ n−2” ûä^u˛™¸>, (‹ϕ n = 0, ka1ϕ n−1 6= 0. œèϕ n−1 (α) 6= 0, §±a1 = 0. ±daÌ, åa0 = a1 = ··· = an−1 = 0. (2) ϕ 3α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α)e› ¥   0 0 ··· 0 0 0 1 0 ··· 0 0 0 0 1 ··· 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 1 0 0 0 0 ··· 0 1 0   . ~ÑÜÿ1 êy²α,ϕ(α),··· ,ϕ n−1 (α) Ç5Ã', ôç—dudimV = n“̉α,ϕ(α), ···, ϕ n−1 (α)¥Vƒ. òáï˛|á§èVƒ, Iy±en^•¸^: (1) ï˛|Ç 5Ã'; (2) V•?øï˛ådTï˛|Ç5L—; (3) ï˛|§¹ï˛áÍTèVë Í. ~ÑÜÿ2 a0α +a1ϕ(α)+···+an−1ϕ n−1 (α) = 0, ™¸>”û¶±ϕ n−1 (α). Vgÿ òóxVv, AT¥/Úϕ n−1ä^u™¸>0, d?ÿU—yα. 14ê,
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