2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 「分数阅卷人12分)设是m维线性空间V到维线性空间U的线性映射, 且m<n.证明:φ是单线性映射的充分必要条件是存 在U到V的满线性映射v,使得vq=idv,即vφ是V上的恒 等变换 证明必要性(法一)设51,2,…,5m是V的一个基,因为q是单的,所以p(51),(52), q(5m)线性无关.记n=q(5),i=1,2,…,m.因m<n,将n1,eta2,…,Tm扩为U的 基 n定义U到V的线性映射,使得 即vp=idv.对任意a∈V,a=∑=1a5,令B=E21an∈U,则v(B)=a.是 v(∑m1ain)=∑=115,则对任意a=∑=1a5∈V,wp(∑m115)=v(∑m1ain)=∑=1 (法二)设51,52,…,m和m,n2,…,n分别是V和U的基q(51,2,…,5m)=(m,n2,…,mn) 其中A是m×n矩阵.因为φ是单射,所以r(A)=n,存在m阶可逆矩阵P,和n阶可逆矩阵Q 使得A=P(/En Q.令B=Q-1(Em,0)P1,则B是nxm矩阵,r(B)=m.令U到V的线性映 0 射v,使得v(n,n2,…,mn)=(51,2,…,m)B,则由同构得,vp=idv,且v是满的线性映 射 充分性(法一)设q(a1)=9(∞2),将v同时作用于两边,利用已知条件vp=idv,即 得a1=a2,故q是单射 (法二)(19级蔡伽炫,李沛雨,潘欣雨,涂细安,吴文琦,邹新驰;18转专业李昌昊等) 设p(a)=0.因为vq=idv,v是线性映射,所以a=v(a)=y(0)=0,故是单射 (法三)(19级林子凌,孟昭芮;19国统施忆清等)反证法,若φ不是单射,则存在α≠0,使 得p(a)=0.又因为vp=id,w是线性映射,所以a=vq(a)=v(0)=0,矛盾 (法四)(19级陈滟柠,胡雅楠,于笑洋,赵康馨;18转专业王笛合等)设φ在V的基ξ1,与2,…,5m 和U的基n1,n2,…,mn下的矩阵是A.v在U的基n1,m2,…,mn和V的基51,2,…,5m下的 矩阵是B.因vq=idv,由同构有BA=Em,若φ非单,则由同构知r(4)<m,故存在非零向 量X,使得AX=0.故0≠X=BAX=0,矛盾 常见错误1定义U到V的线性映射v,使得v(n)=5,i=1,2,…,m.v定义不完整.还应 定义y(n),i=m+1,m+2,…,n的值 常见错误2定义U到V的线性映射v,使得φ(α)→α.y定义不完整.应对U中任意元素 定义像,而不仅仅对φ(a)定义像 常见错误3设51,52,…,5m是V的一个基,令n=9(5),i=1,2,…,m,扩为U的一个基.应 指明由于q是单射,所以η;i=1,2,…,m线性无关 第5页,共7页2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú 8! 分数 阅卷人 (12©) ϕ¥mëÇ5òmVnëÇ5òmUÇ5N, Öm < n. y²: ϕ¥¸Ç5Nø©7á^ᥠ3UV˜Ç5Nψ, ¶ψϕ = idV , =ψϕ¥V˛ð CÜ. y² 7á5 ({ò) ξ1,ξ2,··· ,ξm¥Vòáƒ, œèϕ¥¸, §±ϕ(ξ1), ϕ(ξ2), ···, ϕ(ξm)Ç5Ã'. Pηi = ϕ(ξi), i = 1,2,··· ,m. œm < n, Úη1, eta2,··· ,ηm*èU ƒη1,η2,··· ,ηm,ηm+1,··· ,ηn. ½¬UVÇ5N, ¶ ψ(∑ m i=1 aiηi) = ∑ n i=1 aiξi , KÈ?øα = ∑ n i=1 aiξi ∈V, ψϕ(∑ n i=1 aiξi) = ψ(∑ m i=1 aiηi) = ∑ n i=1 aiξi , =ψϕ = idV . È?øα ∈ V, α = ∑ n i=1 aiξi , -β = ∑ n i=1 aiηi ∈ U, Kψ(β) = α, ψ ¥˜. ({) ξ1,ξ2,··· ,ξm⁄η1,η2,··· ,ηn©O¥V⁄Uƒ. ϕ(ξ1,ξ2,··· ,ξm) = (η1,η2,··· ,ηn)A, Ÿ•A¥m×n› . œèϕ¥¸, §±r(A) = n, 3må_› P, ⁄nå_› Q, ¶A = P En 0 ! Q. -B = Q −1 (Em,0)P −1 , KB¥n×m› , r(B) = m. -UVÇ5N ψ, ¶ψ(η1,η2,··· ,ηn) = (ξ1,ξ2,··· ,ξm)B, Kd”, ψϕ = idV , Öψ¥˜Ç5N . ø©5 ({ò) ϕ(α1) = ϕ(α2), Úψ”ûä^u¸>, |^Æ^áψϕ = idV , = α1 = α2, ϕ¥¸. ({) (19?ȳÓ, oÖ, !Ö, Ê[S, «©l, q#¶; 18=;íoh) ϕ(α) = 0. œèψϕ = idV , ψ¥Ç5N, §±α = ψϕ(α) = ψ(0) = 0, ϕ¥¸. ({n) (19?f', äË; 19I⁄ñ£ò) áy{, eϕÿ¥¸, K3α 6= 0, ¶ ϕ(α) = 0. qœèψϕ = idV , ψ¥Ç5N, §±α = ψϕ(α) = ψ(0) = 0, gÒ. ({o) (19?ùt, ‰ô, u, Îx˘; 18=;í(‹) ϕ3Vƒξ1,ξ2,··· ,ξm ⁄Uƒη1,η2,··· ,ηne› ¥A. ψ3Uƒη1,η2, ···, ηn ⁄Vƒξ1,ξ2, ···, ξme › ¥B. œψϕ = idV , d”kBA = Em. eϕö¸, Kd”r(A) < m, 3ö"ï ˛X, ¶AX = 0. 0 6= X = BAX = 0, gÒ. ~ÑÜÿ1 ½¬UVÇ5Nψ, ¶ψ(ηi) = ξi , i = 1,2,··· ,m. ψ½¬ÿ. ÑA ½¬ψ(ηi), i = m+1,m+2,··· ,nä. ~ÑÜÿ2 ½¬UVÇ5Nψ, ¶ϕ(α) 7→ α. ψ½¬ÿ. AÈU•?øÉ ½¬î, ÿ==Èϕ(α)½¬î. ~ÑÜÿ3 ξ1,ξ2,··· ,ξm¥Vòáƒ, -ηi = ϕ(ξi), i = 1,2,··· ,m, *èUòáƒ. A ç²duϕ¥¸, §±ηi , i = 1,2,··· ,mÇ5Ã'. 15ê,
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