2019-2020学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数①》期末考试卷 常见错误4A=p(E,0 00/Q,令B=0=1(E0 P-1,则BA=E.只能得到BA Er 0 七「分数阅卷人 (10分)设φ,y是线性空间V的线性变换,且φ=φv.证明: V=Kerq⊕Imv的充分必要条件是 dimIn= dimly 证明必要性因为dimV= dimKero e dimIng.又因为V= Kerq⊕Imv,所以dimV= dimErφ⊕ dimly.故dmmp=dmmy 充分性(法一)(19级邓贤兵,郭佩文,纪睿泽,李子辉,母唯盟,邱润楠,王赛,吴和 苑;19国统袁晨曦,朱忆萌等)对任意a∈V,a=(α-v(a)+v(∞).由已知q=v, 所以p(-v(a)=q(a)-q(v(a)=(a)-g(a)=0,说明a-v(a)∈Kerq,又显 然v(a)∈Imy,故V=Kerq+Imy.又因为dmmg= dimLy,所以dmV= dimKerop+ dimImop= dimKerop+ dimly.综上,即得V=Kerq⊕my. (法二)(19级鲍赞羽,甘李祎帆,胡嵩涛,鞠雨含,孟昭芮,吴雪婷等)因为dimρ= dimly,所以dimV= dimErφ+ dimIng= dinEro+ dimly,且 dinEro= dimKery 由已知q=φv,φ是线性映射,故对任意a∈Kerv,(ax)=q(v(ax)=q(0)=0,即 Kery C dinEro.而 dimKerop= dimKery,所以Kerv=Kerq.对任意v(a)∈Kerφ∩Imv,因p= qv,所以p(a)=(v(a)=0.,a∈Ker=Kerv,所以v(a)=0.综上,即得V= Kero Imy (法三)(19国统王可心)由 dimMed=dmmy可知,n=dimV= dumMy+ dimKerop.对任 意a∈Kerv,因φ=qv,所以φ(a)=q(v(a)=(a)=0,故 Kery C Kero.又由dmmp= dimLy,n=dimV= dimly+ dimEr可知, dimKery= dimKerop,所以Kery=Kerp 设a1,α2…,x1是Kerφ的基,故也是Kerv的基,将其扩为v的基α1,a2,…,xn,则v(ax+1) v(ax1+2),…,v(an)是Imy的基,g(ax+1),p(ax+2),…,q(ax)是Imφ的基.现证a1,a2,…,ax v(ax+1),v(ax+2),…,v(axn)线性无关,从而命题得证事实上,设k11+k22+…+kax+ kr+1v(ax+1)+kr+2v(ax+2)+…+knv(an)=0.将φ作用于上式两边得,k+19v(ar+1)+ kr+2qv(ax+2)+…+knv(cxn)=0.又因为q=φv,所以kr+19(ax+1)+k+29(0x+2)+ +kng(ax)=0.注意到q(ax1+1),(ax+2),…,q(an)是Imp的基,所以k+1=k+2=…= kn=0,进而k1x1+k202+…+k,x1=0.而α1,a2,…,Gx是Kerφ的基,必线性无关,所 k1=k2=…=kr=0.这就证明了ax1,ax2…,xr,v(ax1+1),v(ax+2),…,v(axn)线性无关, 其个数恰为V的维数,因此是V的一个基.故V= Kero eImy 常见错误设a∈Kerg∩Imv,则q(a)=0且存在B∈V,使得a=v(B),则qv(B)=0 因为q=9y,所以(B)=0=a.最后一个等号不对.只能得到β∈Kerq.还应 证Kery=Kerg,那么β∈Kerq=Kerv,进而a=v(B)=0 第6页,共7页2019-2020Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú ~ÑÜÿ4 A = P Er 0 0 0 ! Q, -B = Q −1 Er 0 0 0 ! P −1 , KBA = Er . êUBA = Er 0 0 0 ! . ‘! 分数 阅卷人 (10©) ϕ, ψ¥Ç5òmVÇ5CÜ, Öϕ = ϕψ. y²: V = Kerϕ LImψø©7á^á¥dimImϕ = dimImψ. y² 7á5 œèdimV = dimKerϕ LdimImϕ. qœèV = Kerϕ LImψ, §±dimV = dimKerϕ LdimImψ. dimImϕ = dimImψ. ø©5 ({ò) (19?"pW, H©, VHL, ofü, 1çÜ, §dô, m, «⁄ ; 19I⁄öÖ, ££É) È?øα ∈ V, α = (α − ψ(α)) + ψ(α). dÆϕ = ϕψ, §±ϕ(α − ψ(α)) = ϕ(α) − ϕ(ψ(α)) = ϕ(α) − ϕ(α) = 0, `²α − ψ(α) ∈ Kerϕ, qw ,ψ(α) ∈ Imψ, V = Kerϕ + Imψ. qœèdimImϕ = dimImψ, §±dimV = dimKerϕ + dimImϕ = dimKerϕ +dimImψ. n˛, =V = Kerϕ LImψ. ({) (19? 7ã, [oÃ~, ”7, ‘Ö¹, äË, «»x) œèdimImϕ = dimImψ, §±dimV = dimKerϕ + dimImϕ = dimKerϕ + dimImψ, ÖdimKerϕ = dimKerψ. dÆϕ = ϕψ, ϕ¥Ç5N, È?øα ∈ Kerψ, ϕ(α) = ϕ(ψ(α)) = ϕ(0) = 0, =Kerψ ⊆ dimKerϕ. dimKerϕ = dimKerψ, §±Kerψ = Kerϕ. È?øψ(α) ∈ Kerϕ T Imψ, œϕ = ϕψ, §±ϕ(α) = ϕ(ψ(α)) = 0, α ∈ Kerϕ = Kerψ, §±ψ(α) = 0. n˛, =V = Kerϕ LImψ. ({n) (19I⁄å%) ddimImϕ = dimImψå, n = dimV = dimImψ +dimKerϕ. È? øα ∈ Kerψ, œϕ = ϕψ, §±ϕ(α) = ϕ(ψ(α)) = ϕ(α) = 0, Kerψ ⊆ Kerϕ. qddimImϕ = dimImψ, n = dimV = dimImψ +dimKerϕå, dimKerψ = dimKerϕ, §±Kerψ = Kerϕ. α1,α2,··· ,αr¥Kerϕƒ, è¥Kerψƒ, ÚŸ*èVƒα1,α2,··· ,αn. Kψ(αr+1), ψ(αr+2),··· ,ψ(αn)¥Imψƒ, ϕ(αr+1), ϕ(αr+2),··· ,ϕ(αn)¥Imϕƒ. yyα1,α2,··· ,αr , ψ(αr+1),ψ(αr+2),··· ,ψ(αn)Ç5Ã', l ·Ky. Ø¢˛, k1α1+k2α2+···+krαr+ kr+1ψ(αr+1) +kr+2ψ(αr+2) +···+knψ(αn) = 0. Úϕä^u˛™¸>, kr+1ϕψ(αr+1) + kr+2ϕψ(αr+2) + ··· + knϕψ(αn) = 0. qœèϕ = ϕψ, §±kr+1ϕ(αr+1) + kr+2ϕ(αr+2) + ···+knϕ(αn) = 0. 5øϕ(αr+1), ϕ(αr+2),··· ,ϕ(αn)¥Imϕƒ, §±kr+1 = kr+2 = ··· = kn = 0, ? k1α1 + k2α2 + ··· + krαr = 0. α1,α2,··· ,αr¥Kerϕƒ, 7Ç5Ã', § ±k1 = k2 = ··· = kr = 0. ˘“y² α1,α2,··· ,αr ,ψ(αr+1),ψ(αr+2),··· ,ψ(αn)Ç5Ã', ŸáÍTèVëÍ, œd¥Vòáƒ. V = Kerϕ LImψ. ~ÑÜÿ α ∈ Kerϕ T Imψ, Kϕ(α) = 0Ö3β ∈ V, ¶α = ψ(β), Kϕψ(β) = 0. œèϕ = ϕψ, §±ϕ(β) = 0 = α. Å￾òá“ÿÈ. êUβ ∈ Kerϕ. ÑA yKerψ = Kerϕ, @oβ ∈ Kerϕ = Kerψ, ? α = ψ(β) = 0. 16ê,
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