第10期 孙莹等：考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配 ·1207· 联合库存管理中，允许存货短缺，但是在最后一个周 通过积分得 期不允许存货短缺，有限的计划期在开始和结束时 A(b,-a,)=[f(u)du (3) 的存储水平均为零. 模型符号说明：T为有限计划期的总长度：f(t) 所以在时刻a:,]内由于缺货而损失的费用为： 代表t时刻的需求函数，需求函数在计划期D,T刀内 dudp(d.(4) 是连续函数：S(t)表示t时刻商品的存储量；R表示 供应商每年的生产量或生产率；a:表示开始生产地 根据以上分析，本文确定了一对一联合库存缺 时刻，a1=0;b:表示生产结束的时刻：n表示在计划 货成本.在后续研究中，将考虑缺货成本对模型的 期0，T刀内的总补货次数：表示存储量为零的时 影响. 刻；P为缺货时的单位损失，用物品的单位边际贡献 3考虑缺货的一对一联合库存成本分析 表示.根据以上的假设及符号说明，可以画出库存 水平与时间变化的关系图，如图2所示 在建立模型之前，先定义下列符号：。为初始库 存；C为单件产品每年的库存持有成本；C为需求 储 方单件产品每年的库存持有成本：C2为供应商单件 产品每年的库存持有成本；C0为每次处理订单的处 理成本；C,为需求方每次处理订单的处理成本；C2 为供应商每次处理订单的处理成本；C,为库房每年 的租金成本：C,为联合库存条件下单件产品每年的 图2供应商库存水平随时间的变化 库存持有成本；C,为联合库存条件下每次处理订单 Fig.2 Change of the supplier's inventory level with time 的处理成本；C。为联合库存条件下库房的每年租金 成本：R为单位时间客户的商品需求量，即客户的需 a:时刻为第i次循环开始的时刻，且是第i次 生产的开始时刻，因为生产率大于需求率，库存水平 求率；y为需求方的每年需求量；n为全年订货次数； 开始增加，随着需求水平的加大，增加速度逐渐减 Q为每次订货量；C,为缺货费用，即前节所计算的 小；b:时刻生产结束，此时库存水平达到最大，由于 G=pa-4wk 需求库存水平逐渐减小，到：时刻库存水平减少为 零，从而开始发生短缺，直到a:+,时刻才开始生产， 在上述假设条件下，综合考虑以上库存持有成 如此循环往复，直到计划期结束 本、订单处理成本、库房租金和缺货成本，运用经济 由以上的分析可知， 订货批量模型，在计划期t时间内的总库存费用模 S(t)=A-f(t）,a:≤t≤b: 型为 S(t)=-ft）, b,≤t≤z:: (1) C(t,S)= 1 S(t）=-f(t）,a,≤t≤a+1 2R 所以 ()d(R-) A-f(W]du,a:≤t≤b,; 2R a. s0=∫-fw]d, (5) b:≤t≤i 式(5)为一年的总库存费用模型.考虑每次的 s()=[-f(]du. 2:≤t≤a+1 订货批量为0，则有Q=六y=n,1=1,将其代 (2) 入式(5)，得 由关系图及前述分析，可知S(a,)=0,S(a)= C(y)= Ciolo 0,a:≤b:≤z:结合式(2)得 20 s(b)=f CA-(Jdu= p“a-af0d(R-1。)2 i[-fω]du=fu)du 20 +Co。+C, (6)第 10 期 孙 莹等: 考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配 联合库存管理中，允许存货短缺，但是在最后一个周 期不允许存货短缺，有限的计划期在开始和结束时 的存储水平均为零． 模型符号说明: T 为有限计划期的总长度; f( t) 代表 t 时刻的需求函数，需求函数在计划期［0，T］内 是连续函数; S( t) 表示 t 时刻商品的存储量; R 表示 供应商每年的生产量或生产率; ai 表示开始生产地 时刻，a1 = 0; bi 表示生产结束的时刻; n 表示在计划 期［0，T］内的总补货次数; zi 表示存储量为零的时 刻; p 为缺货时的单位损失，用物品的单位边际贡献 表示． 根据以上的假设及符号说明，可以画出库存 水平与时间变化的关系图，如图 2 所示． 图 2 供应商库存水平随时间的变化 Fig． 2 Change of the supplier's inventory level with time ai 时刻为第 i 次循环开始的时刻，且是第 i 次 生产的开始时刻，因为生产率大于需求率，库存水平 开始增加，随着需求水平的加大，增加速度逐渐减 小; bi 时刻生产结束，此时库存水平达到最大，由于 需求库存水平逐渐减小，到 zi 时刻库存水平减少为 零，从而开始发生短缺，直到 ai + 1时刻才开始生产， 如此循环往复，直到计划期结束． 由以上的分析可知， S'( t) = A － f( t) ， ai≤t≤bi ; S'( t) = － f( t) ， bi≤t≤zi ; S'( t) = － f( t) ， zi≤t≤ai + 1 { ． ( 1) 所以 S( t) = ∫ t ai ［A － f( u) ］du， ai ≤ t ≤ bi ; S( t) = ∫ t ai ［－ f( u) ］du， bi ≤ t ≤ zi ; S( t) = ∫ t ai ［－ f( u) ］du， zi ≤ t ≤ ai+1          ． ( 2) 由关系图及前述分析，可知 S( ai ) = 0，S( zi ) = 0，ai≤bi≤zi ． 结合式( 2) 得 S( bi ) = ∫ bi ai ［A － f( u) ］du = ∫ bi zi ［－ f( u) ］du = ∫ zi bi f( u) du． 通过积分得 A( bi － ai ) = ∫ zi bi f( u) du ． ( 3) 所以在时刻［ai，zi ］内由于缺货而损失的费用为: p ∫ ai+1 zi ∫ t zi f( u) dudt = p ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) dt． ( 4) 根据以上分析，本文确定了一对一联合库存缺 货成本． 在后续研究中，将考虑缺货成本对模型的 影响． 3 考虑缺货的一对一联合库存成本分析 在建立模型之前，先定义下列符号: I0 为初始库 存; Ch0为单件产品每年的库存持有成本; Ch1为需求 方单件产品每年的库存持有成本; Ch2为供应商单件 产品每年的库存持有成本; Cs0为每次处理订单的处 理成本; Cs1为需求方每次处理订单的处理成本; Cs2 为供应商每次处理订单的处理成本; Cr 为库房每年 的租金成本; Ch 为联合库存条件下单件产品每年的 库存持有成本; Cs 为联合库存条件下每次处理订单 的处理成本; Cr0为联合库存条件下库房的每年租金 成本; R 为单位时间客户的商品需求量，即客户的需 求率; y 为需求方的每年需求量; n 为全年订货次数; Q 为每次订货量; Cl 为缺货费用，即前节所计算的 Cl = p ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) dt． 在上述假设条件下，综合考虑以上库存持有成 本、订单处理成本、库房租金和缺货成本，运用经济 订货批量模型，在计划期 t 时间内的总库存费用模 型为 C( t，S) = 1 t [ Ch0 I 2 0 2R + p∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt( Rt － I0 ) 2 2R + Cs0 ] + Cr． ( 5) 式( 5) 为一年的总库存费用模型． 考虑每次的 订货批量为 Q，则有 Q = y n ，y = nRt，t = 1 /n，将其代 入式( 5) ，得 C( y) = Ch0 I 2 0 2Q + p∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt( Rt － I0 ) 2 2Q + Cs0 y Q + Cr． ( 6) ·1207·