六、(12分)试用配方法寻求可逆线性变换Ⅹ=CY,把下面二次型化为标准形. f(x1,x2,x3)=x12 7x2 解f(x1-x2-2x)2-8x2x-1x2=(x1-X2-2x3)2+16/11lx2-11(4x/+x)2(6分) xI=y1+3/11y2+2y3 (4分) 3=4x2/11+x3 X3=4/1ly2+y3 得f=y12+16/l2-lly2 七、(14分,每小题7分) (1)设A是n×n正定矩阵,证明A6也是正定的 (2)设α1,a2,an是一组n维向量,已知单位向量ε1,ε2,…,εn, 可被它们线性表示,证明a1,a2,an线性无关 证(1)因nⅪn矩阵A是正定的,所以A是可逆的,对于任意不为零的n维向量X AX≠0,A2X=A(AX)≠0,A3X≠0,XAX=(A3X)(A3X)≠0,所以A6是正定 的 证(2)因为ε1,e2,,en能由a1,a2,,an线性表示,所以ε1,e2,… En的秩小于等于a,a2,an的秩,但ε1,ε2,,εn的秩等于n,所以q 1,a2,,an的秩只能是n,说明a1,a2,,an是自身的最大无关组,从而知 a1,a2,,an线性无关 八、(14分,每小题7分) (1)设A是一个n×n实矩阵,证明A是反对称的充分必要条件是:对任意 ∈R,都有aAa=0 (2)设向量组B,B2,,B能由{,a2,…线性表示,试证:向量组{a, s,B1,B2,,B1}与{a,a,…,.as}有相同的秩 证:(1)根据二次型与矩阵的关系知aAa=a[(A+A)]a,如果A是反 对称的,则(A+A)=0,从而对任意a∈R,aAa=0 反之,若对任意a∈R,都有aMAa=0,记B=(A+A),将二次型aBa通过 非退化线性变换化为标准型后显然每个平方项的系数为零,即二次型的秩为0,从 而B的秩为0,即(A+A)=0,说明A=-A,A是反对称的 证(2)首先显然{a1,a2,…,as}可由{1,a2,…as,BB2,,B1}线性表示,又因为 β1,B2,Bm}能由{a,a2…,as线性表示,所以{a1,∞2,,asB1,B2…B1}能由{a1, a2,…,s线性表示,而等价的向量组秩相同,所以{a1,a2…,a3B1,B2B}与{1, a2,…,a}有相同的秩 第3页共3页第 3 页 共 3 页 六、（12 分）试用配方法寻求可逆线性变换 X=CY，把下面二次型化为标准形． f(x1, x2,x3)= x1 2-2x1 x2-4 x1x3+ x2 2-4 x2 x3-7x3 2 解 f=( x1-x2-2x3) 2-8 x2 x3-11 x3 2=-( x1-x2-2x3) 2+16/11 x2 2-11(4x2/11+x3) 2 （6 分） 令 y1=x1-x2-2x3 y2=x2 y3=4x2/11+x3 即 x1=y1+3/11y2+2y3 x2= y2 x3= 4/11y2+y3 （4 分） 得 f=-y1 2+16/11y2 2-11y3 2 （2 分） 七、（14 分，每小题 7 分） （1） 设 A 是 n×n 正定矩阵，证明 A6也是正定的． （2） 设α1, α2,…，αn是一组 n 维向量，已知单位向量ε1，ε2，…，εn， 可被它们线性表示，证明α1, α2,…，αn线性无关． 证（1）因 nn 矩阵 A 是正定的，所以 A 是可逆的，对于任意不为零的 n 维向量 X， AX≠0，A2X=A（AX）≠0，A3X≠0，XA6X= (A3X)T (A3X) ≠0，所以 A6 是正定 的． 证(2) 因为ε1，ε2，…，εn能由α1, α2,…，αn线性表示，所以ε1，ε2，…， εn的秩小于等于α1, α2,…，αn的秩，但ε1，ε2，…，εn的秩等于 n，所以α 1, α2,…，αn的秩只能是 n，说明α1, α2,…，αn是自身的最大无关组，从而知 α1, α2,…，αn线性无关． 八、（14 分，每小题 7 分） (1)设 A 是一个 n×n 实矩阵，证明 A 是反对称的充分必要条件是：对任意α Rn，都有αTAα=0． (2)设向量组{β1, β2,…,βt}能由 {α1, α2, …,αs}线性表示，试证:向量组{α1, α2, …,αs, β1,β2,…,βt }与{α1, α2, …,αs}有相同的秩． 证：（1）根据二次型与矩阵的关系知α TAα=α T [ 1 2 (A T+A)]α，如果 A 是反 对称的，则(A T+A)=0，从而对任意αRn，α TAα=0． 反之，若对任意αR n，都有α TAα=0，记 B= 1 2 (A T+A)，将二次型α TBα通过 非退化线性变换化为标准型后显然每个平方项的系数为零，即二次型的秩为 0，从 而 B 的秩为 0，即(A T+A)=0，说明 A=-A T，A 是反对称的． 证（2）首先显然{α1, α2, …,αs}可由{α1, α2, …,αs, β1,β2,…,βt }线性表示，又因为 {β1, β2,…,βn} 能由{α1, α2, …,αs}线性表示，所以{α1, α2, …,αs, β1,β2,…,βt }能由{α1, α2, …,αs}线性表示，而等价的向量组秩相同，所以{α1, α2, …,αs, β1,β2,…,βt }与{α1, α2, …,αs}有相同的秩．