解:D:=1b1=b(a-1) 当a≠1且b≠0时,方程组有唯一解 (4分) 当a=1时,增广矩阵为 0b-10 -10-2 001-2b 显然当a=1.b=1/2时方程组有无穷多解 (4分) 当a=1,b≠1/2时方程组无解 当b=0时, -10-2 01 00-1 001-2b 方程组也无解 (4分) 四、(12分)把向量α表示成向量组β1,β2,B3,B4的线性组合,这里a (0,0,0,1),B1=(1,10,1),B2=(2,1,3,1),β3=(1,0,0),B4=(0,1,-1). 解:令a=x1B1+x2B2+x3B3+x4B4即解方程组 x1+2x2+x=0 kx1+x2+x3+x=0 3x2-x=0 (6分 X1+x2X=1 解得 a=1B1+0B2+1B3+0B4 (6分) 五、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解 解增广矩阵为 心333]:3) (4分) 对应的同解方程为 X1-X3-X2-X4 1+x3=x2+3x4+1 (2分) 令x2=x:=0得x1=x3=12得特解,再求相应的齐次方程组的解,最后得非齐次方程 组的通解为 X (cc2为任意实数) (6分) 第2页共3页第 2 页 共 3 页 解：D3= | a 1 1 1 b 1 1 2b 1| =-b( a-1) 当 a≠1 且 b≠0 时，方程组有唯一解 ． （4 分） 当 a=1 时，增广矩阵为 B= 1 1 1 4 1 b 1 3 1 2b 1 4 ~ 1 1 1 4 0 b-1 0 -1 0 b 0 1 ~ 1 1 1 4 0 -1 0 -2 0 0 0 1-2b 显然当 a=1,b=1/2 时方程组有无穷多解． （4 分） 当 a=1,b≠1/2 时方程组无解 当 b=0 时， B= a 1 1 4 1 0 1 3 1 0 1 4 ~ a 1 1 4 1 0 1 3 0 0 0 -1 ~ 1 0 1 3 0 -1 0 -2 0 0 0 1-2b 方程组也无解． （4 分） 四、（12 分）把向量α表示成向量组β1, β2, β3，β4 的线性组合，这里α =(0,0,0,1),β1=(1,1,0,1),β2=(2,1,3,1)，β3=(1,1,0,0)，β4=(0,1,-1,-1)． 解：令α=x1β1+x2β2+ x3β3+x4β4 即解方程组 x1+2x2+x3=0 x1+x2+x3+x4=0 3x2-x4=0 x1+x2-x4=1 （6 分） 解得 x1=-1，x2=0，x3=1，x4=0，即 α=1β1+0β2+ 1β3+0β4 （6 分） 五、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解． x1-x2-x3+x4=0 x1-x2+x3-3x4=1 x1- x2-2x3+3x4=-1 2 解 增广矩阵为 B= 1 -1 -1 1 0 1 -1 1 -3 1 1 -1 -2 3 -1/2 ~ 1 -1 -1 1 0 0 0 2 -4 1 0 0 -1 2 -1/2 ~ 1 -1 -1 1 0 0 0 2 -4 1 0 0 0 0 0 （4 分） 对应的同解方程为 x1-x3=x2-x4 x1+x3=x2+3x4+1 （2 分） 令 x2=x4=0 得 x1=x3=1/2 得特解，再求相应的齐次方程组的解，最后得非齐次方程 组的通解为 x1 x2 x3 x4 = 1/2 0 1/2 0 +c1 1 1 0 0 c2 1 0 2 1 （c1,c2为任意实数） （6 分）