五、设A,B分别为实数域上m阶、n阶方阵,试证明: (1)如果A,B都相似于对角矩阵,则 也相似于一个对角矩阵 0 B (2)设 0 B 相似于一个对角矩阵,即存在一个可逆矩阵S,使得 0B/°=ag(4,2,…) 对S进行分块,令S=(S ,其中S是mx(m+n)阶矩阵,S2是nx(m+n)阶矩阵。试 证明:S的每一列都是A的特征向量,S2的每一列是B的特征向量,并且 rank(S,)=m, rank(s2)=n (3) 相似于一个对角矩阵当且仅当A,B都相似于对角阵。(共12分 0 B 第6页第 6 页 五、设 A B, 分别为实数域上 m 阶、n 阶方阵，试证明： （1）如果 A B, 都相似于对角矩阵，则 0 0 A B       也相似于一个对角矩阵。 （2）设 0 0 A B       相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵 S ，使得 1 1 2 0 ( , , , ) 0 n A S S diag B    −     =   。 对 S 进行分块，令 1 2 S S S   =     ，其中 1 S 是 m m n  + ( ) 阶矩阵， 2 S 是 n m n  + ( ) 阶矩阵。试 证明： 1 S 的每一列都是 A 的特征向量， 2 S 的每一列是 B 的 特 征 向 量 ， 并 且 1 2 rank S m rank S n ( ) , ( ) = = 。 （3） 0 0 A B       相似于一个对角矩阵当且仅当 A B, 都相似于对角阵。(共 12 分)