Beta分布是区间(0,1)内的双参数、非均匀分布,记作B(a,B)。 2.2.2常用的离散型概率分布 (i)离散均匀分布 (ii) Bernoulli分布(两点分布) Bernoulli分布是x=10处取值的概率分别是p和1-p的两点分布,记作 Bern(p)。用于基本的离散模型 (ii)泊松( Poisson)分布 泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数A的到达间隔服从 指数分布时,单位时间内到达的顾客数K服从泊松分布,即单位时间内到达k位顾客 的概率为 e P k=0,1,2 k 记作 Poisson(λ)。泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、物理等 领域都有广泛应用。 (iv)二项分布 在独立进行的每次试验中,某事件发生的概率为P,则n次试验中该事件发生的 次数K服从二项分布,即发生k次的概率为 P (1-p),k=0,1 记作B(n,P)。二项分布是n个独立的 Bernoulli分布之和。它在产品检验、保险、生 物和医学统计等领域有着广泛的应用 当n,k很大时,B(n,p)近似于正态分布N(p,np(1-p);当n很大、P很小, 且Pp约为常数λ时,B(n,p)近似于 Poisson()。 §3生灭过程 一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的 随机过程,在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中,如果N(1)表示 时刻t系统中的顾客数,则{N(1),t≥0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达,“灭”表示顾客的离去,则对许多排队过程来说,{N(1),t≥0}就是一类特 殊的随机过程一生灭过程。下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义 定义1设{N(1),t≥0}为一个随机过程。若N()的概率分布具有以下性质 (1)假设N(1)=n,则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为n 的负指数分布,n=0,1,2,…。 (2)假设N(t)=n,则从时刻t起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为n 的负指数分别,n=0,1,2,……。 (3)同一时刻只有一个顾客到达或离去。 则称{N(),t≥0}为一个生灭过程 一般来说,得到N()的分布Pn()=P{N(1)=n}(n=0,1,2,…)是比较困难的, 因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布,记为pn,n=0.1,2, 为求平稳分布,考虑系统可能处的任一状态n。假设记录了一段时间内系统进入状 态n和离开状态n的次数,则因为“进入”和“离开”是交替发生的,所以这两个数要-123- Beta 分布是区间(0,1) 内的双参数、非均匀分布，记作 B(α, β ) 。 2.2.2 常用的离散型概率分布 （i）离散均匀分布 （ii）Bernoulli 分布（两点分布） Bernoulli 分布是 x = 1,0 处取值的概率分别是 p 和1− p 的两点分布，记作 Bern( p) 。用于基本的离散模型。 （iii）泊松（Poisson）分布 泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数 λ 的到达间隔服从 指数分布时，单位时间内到达的顾客数 K 服从泊松分布，即单位时间内到达 k 位顾客 的概率为 , 0,1,2,L ! = = − k k e P k k λ λ 记作 Poisson(λ) 。泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、物理等 领域都有广泛应用。 （iv）二项分布 在独立进行的每次试验中，某事件发生的概率为 p ，则 n 次试验中该事件发生的 次数 K 服从二项分布，即发生k 次的概率为 P C p p k n k k n k k n = (1− ) , = 0,1,L, − . 记作 B(n, p) 。二项分布是n 个独立的 Bernoulli 分布之和。它在产品检验、保险、生 物和医学统计等领域有着广泛的应用。 当n,k 很大时， B(n, p) 近似于正态分布 N(np,np(1− p)) ；当n 很大、 p 很小， 且np 约为常数λ 时， B(n, p) 近似于 Poisson(λ)。 §3 生灭过程 一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的 随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特 殊的随机过程－生灭过程。下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。 定义 1 设{N(t),t ≥ 0}为一个随机过程。若 N(t) 的概率分布具有以下性质： （1）假设 N(t) = n，则从时刻t 起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为λn 的负指数分布，n = 0,1,2,L。 （2）假设 N(t) = n，则从时刻t 起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为 μn 的负指数分别，n = 0,1,2,L。 （3）同一时刻只有一个顾客到达或离去。 则称{N(t),t ≥ 0}为一个生灭过程。 一般来说，得到 N(t) 的分布 p (t) P{N(t) n} n = = （ n = 0,1,2,L）是比较困难的， 因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布，记为 pn , n = 0,1,2,L。 为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要