并且，IGl(E/F)川=[E:F]当且仅当f(x)是F上的可分多项式. 推论2.8是关于扩域的Galois群的最基本的信息，也是目前为止我们得到的关于Galois群 的阶的唯一信息 2.5代数闭域 域K称为代数闭域(algebraically closed field),如果K[z中任一多项式均在K中有根：这 等价于说，Kz中任一多项式的全部根都在K中：也等价于说K的代数扩域只有K自身. 著名的代数基本定理是说：复数域C是代数闭域.从而有理数域Q和实数域R的代数扩 域均可视为C的子域 将域K上所有不可约多项式的根均添加到K上得到的域称为K的代数闭包.K的代数 闭包是代数闭域.Q的代数闭包是C的真子域. 习题 1.设f(x)是F[z中多项式，degf=n≥1.求证f(x)在F上的分裂E满足[E:F]≤nl. 2.求x8-1在Q上的分裂域E:计算[E:Q;并确定Galois群Gal(E/Q). 3.设F是特征p的域，f(x)=xP-x-c是F[z中的不可约多项式，E是f(x)在F上的分 裂域.求[E:F,并确定Galois群Gal(E/F) 4.设n是正整数，域F的特征为零或与n互素.则多项式xn-1∈F[z]在K中的根集G 关于K的乘法是n阶循环群，其中K是xn-1在F上的分裂域的任一扩域.G的生成元称为n次 本原单位根.换言之，此时F的某一扩域含有次本原单位根， 5.设F为域，E是F(x)中n次多项式f(x)在F上的分裂域.求证[E:F]|nl.(提示：对n用 数学归纳法) 6.设f(x)是域F上的正次数多项式，E是F的任一扩域.则f(x)是F上的可分多项式当 且仅当f(x)是E上的可分多项式.即f(x)∈F[z是否是可分多项式也是f(x)的内蕴性质：并 不依赖在F的哪个扩域中谈论这件事」 7.设a:F-→F是域同构，f(z)=a0+a1x+…+anxn∈F[z.令f(x)= o(ao)+o(a1)x+…+o(an)xn∈F[.利用引理2.4证明f(x)是Fz中的可分多项式当且 仅当f(z)是F[z中的可分多项式.5 øÖ, | Gal(E/F)| = [E : F]Ö=f(x)¥F˛å©ıë™.. Ìÿ2.8¥'u*çGalois+Ń&E,è¥8cèé·Ç'uGalois+ çò&E. 2.5 ìÍ4ç çK°èìÍ4ç(algebraically closed field), XJK[x]•?òı뙲3K•kä;˘ du`,K[x]•?òı뙋ä—3K•;èdu`KìÍ*çêkKg. Õ¶ì̓½n¥`:EÍçC¥ìÍ4ç.l knÍçQ⁄¢ÍçRìÍ* ç˛å¿èCfç. ÚçK˛§kÿåıë™ä˛V\K˛ç°èKìÍ4ù.KìÍ 4ù¥ìÍ4ç. QìÍ4ù¥C˝fç. SK 1. f(x)¥F[x]•ıë™,deg f = n ≥ 1.¶yf(x)3F˛©E˜v[E : F] ≤ n!. 2. ¶x 8 − 13Q˛©çE; Oé[E : Q]; ø(½Galois+Gal(E/Q). 3. F¥Apç,f(x) = x p − x − c¥F[x]•ÿåıë™,E¥f(x)3F˛© ç. ¶[E : F],ø(½Galois+Gal(E/F). 4. n¥Í,çFAè"½ÜnpÉ. Kıë™x n − 1 ∈ F[x] 3K•ä8G 'uK¶{¥nÃÇ+,Ÿ•K¥x n−13F˛©ç?ò*ç. G)§°èng ¸†ä. ÜÛÉ, dûF,ò*ç¹kng¸†ä. 5. Fèç,E¥F(x)•ngıë™f(x)3F˛©ç.¶y[E : F] | n!. (J´µÈn^ ÍÆ8B{.) 6. f(x)¥çF˛gÍıë™, E¥F?ò*ç. Kf(x)¥F˛å©ıë™ Ö=f(x)¥E˛å©ıë™. =f(x) ∈ F[x]¥ƒ¥å©ıë™è¥f(x)S%5ü:ø ÿù63F=á*ç•!ÿ˘áØ. 7. σ : F −→ F 0¥ç”, f(x) = a0 + a1x + · · · + anx n ∈ F[x]. -f σ (x) := σ(a0) + σ(a1)x + · · · + σ(an)x n ∈ F 0 [x]. |^⁄n2.4y²f(x)¥F[x]•å©ıë™Ö =f σ (x)¥F 0 [x]•å©ıë™.