可约因子g(c)∈F设u是g(c)在E中的一个根根据引理2.5()，o共有t个延拓o1,…,4 F(u)-→，它们均为域嵌入，其中t等于g°(x)∈F[x在E中互异根的个数.1≤t≤d,并 且t=d当且仅当g(e)在F上可分，当且仅当g(x)在F上可分. 对于每一域同构a：F()-→F().E和分别是f(r)在F(u)上和a(r)在F()B 的分裂域其中： a,(u)∈E.因为E:F(u<[E:F n由归纳假设知可延拓成域 同构E →E 这种延拓的个数m满足1≤m4≤E:F(u:并且m:=E:F(u当且仅 当f(e)在F()上 于是，以上述方式我们得到σ的m个不同的延拓E-→E',其中 1≤m=∑】 ，≤4e:Pol≤E:Fa=回：E:Fl=E: 并且，若f(x)是F上的可分多项式，则g(x)在F上可分且fx)在F(u)上可分，于是t=d且对于 任一i有m,=E:F(，从而m=E:F. 现在，设域同构o:E-→E是a的任一延拓.则o在F(u)上的限制是域嵌入F(u)-→ E且是σ的一个延拓因此这个限制是某一a,从而0是，的一个延拓，因此已经包含在上述m个σ的 延拓之列.证毕 注记：事实上，在同构延拓定理中，由m=[E:门亦可推出f(x)是F上的可分多项 式，即m=E:F月当且仅当f()是F上的可分多项式.不过，这个证明要用到可分性更多的知 识，此处从略 2.4同构延拓定理的应用 同构延拓定理是域论中经常要用到的一条基本定理作为它的应用，不仅能推出分裂域 的唯一性，而且能确定分裂域的Galois群的阶. 在定理2.6中取F'=F,为恒等，由定理2.6和上述注记我们得到下述 推论2.7设E和E均是f(e)∈Fz在F上的分裂域.则有m个域同构E-→E保持F中 的元不动.其中1<m<「E：可：并且.m=[E:当且仅当f(x)是F上的可分多项式 特别地，回)∈F回在F上的分裂域的（在同构意义下）是唯一的. 注记：由分裂域的存在性，今后我们可以自由地谈论域F上正次数多项式∫(x)的根： 而有了分裂域的唯一性，今后我们就不必在意是在F的哪个护域中谈论F】中的多项式的 报所以。分裂城的存在性和唯一性对于研究域上多项式的根从而对于透的研究，非常重 在推论2.7中取E=E,便可得到分裂域的Galois群的阶. 推论2.8设E是fe)在F上的分裂域.则Gal(E/F≤[E:F4 åœfg(x) ∈ F[x].u¥g(x)3E•òáä.ä‚⁄n2.5(ii), σ
ktáÚˇσ1, · · · , σt : F(u) −→ E0 ,ßDzèçi\, Ÿ•tug σ (x) ∈ F 0 [x]3E0•p…äáÍ, 1 ≤ t ≤ d, ø Öt = dÖ=g σ (x)3F 0˛å©, Ö=g(x)3F˛å©. Èuzòç”σi : F(u) −→ F 0 (ui), E⁄E0©O¥f(x)3F(u)˛⁄f σ (x)3F 0 (ui)˛ ©ç,Ÿ•ui := σi(u) ∈ E0 .œè[E : F(u)] < [E : F] = n,d8BbσiåÚˇ§ç ”E −→ E0 ,˘´ÚˇáÍmi˜v1 ≤ mi ≤ [E : F(u)]; øÖmi = [E : F(u)]Ö= f(x)3F(u)˛å©. u¥,±˛„ê™·Çσmáÿ”ÚˇE −→ E0 ,Ÿ• 1 ≤ m = X 1≤i≤t mi ≤ t[E : F(u)] ≤ d[E : F(u)] = [F(u) : F][E : F(u)] = [E : F]. øÖ,ef(x)¥F˛å©ıë™,Kg(x)3F˛å©Öf(x)3F(u)˛å©, u¥t = dÖÈu ?òikmi = [E : F(u)], l m = [E : F]. y3,ç”φ : E −→ E0¥σ?òÚˇ.Kφ3F(u)˛Åõ¥çi\F(u) −→ E0Ö¥σòáÚˇ.œd˘áÅõ¥,òσi ,l φ¥σiòáÚˇ,œdφƲù¹3˛„máσ ÚˇÉ. y..  5P: Ø¢˛, 3”Úˇ½n•, dm = [E : F]½åÌ—f(x)¥F˛å©ıë ™,=m = [E : F]Ö=f(x)¥F˛å©ıë™.ÿL,˘áy²á^å©5çı £,d?l—. 2.4 ”Úˇ½nA^ ”Úˇ½n¥çÿ•²~á^ò^ƒ½n.äèßA^,ÿ=UÌ—©ç çò5, ÖU(½©çGalois+. 3½n2.6•F 0 = F, σèð,d½n2.6⁄˛„5P·Çe„ Ìÿ2.7 E⁄E0˛¥f(x) ∈ F[x]3F˛©ç. Kkmáç”E −→ E0±F• ÿƒ,Ÿ•1 ≤ m ≤ [E : F]; øÖ, m = [E : F]Ö=f(x)¥F˛å©ıë™. AO/,f(x) ∈ F[x]3F˛©ç(3”ø¬e)¥çò. 5Pµ d©ç35,8￾·Çå±gd/!ÿçF˛gÍıë™f(x)ä¶ k ©ççò5,8￾·Ç“ÿ73ø¥3F=á*ç•!ÿF[x]•ıë™ ä.§±, ©ç35⁄çò5ÈuÔƒç˛ıë™ä,l ÈuçÔƒ,ö~­ á. 3Ìÿ2.7•E0 = E,Bå©çGalois+. Ìÿ2.8 E¥f(x)3F˛©ç. K| Gal(E/F)| ≤ [E : F].