注意到最大公因子(，')可用辗转相除法得到，因此，多项式((，f'()仅与f)的 系数有关，(f(,'(口》的系数均属于F,或者说都属于f()的系数所在的域.从而多项式(，'》 并不依赖f(x)的根是在F的哪个扩域中.因此，f()∈F]有无重根是f(x)的内蕴性质.■ 2.3同构延拓定理 为了证明分裂域的唯一性，我们还需要作些准备 设a:F-一→F是域同构，f()=ao+a1x+…+anx∈F[.令 fP(a)=a(ao)+a(a1)r+…+a(a)r∈F'zl 则诱导出多项式环之间的同构F[国一→F回：f)→f°()，注意到f)是Fz中的不 可约多项式当且仅当fP()是F[回中的不可约多项式利用引理2.4不难验证f(x)是F[中 的可分多项式当且仅当严(e是F'中的可分多项式（习题】 引理2.5设a:F一→F是域同构，K/F,K/F均为域扩张，f(红)是F☑中的不可约多 项式，u是f(c)在K中的一个根. ()若u是f(x)的根，则a可唯一地延拓成域同构a:F(u)-一F(u)使得a(u)- 证()f)和∫P(e)分别是u在F上的，和在F上的，极小多项式。故有域同构r F一/Ue.和：F)一F而可延拓成环同构，：F- (),因此 域同构6 使a阳一p即为所来的雅的延超 F/f》→F/P(》.于 (创若f()在K'中有根u,则由()我们得到的一个延拓 G:F(刨)-→F()→K' 并且，是域嵌入以这种方式我们已经得到m个这样的证拓.其中n是o(x)在'中百异根的 个数反之，设域嵌入d:F(u →是的延拓.则 刨是 ()在K中的根.因F( F叫，故的像恰为F'u=F(.因此，这个g已经在上述n个延拓之列了这就证明了a的 这种延拓的个数等于P()在K中互异根的个数. ■ 定理2.6（同构延拓定理）设a:F→F是域同构，f()是F中的正次数多项式 E和E'分别是f)在F上和”()在F上的分裂域则可延拓成域同构E-→E':这种延托 的个数m满足1≤m≤[E:F].而且，若fr)是F上的可分多项式，则m=E:F 证对E:F用数学归纳法若E:=1则E=FE=F.从而结论自然成立 设E:F<n时结论成立现设E:F月=n≥2.因此fe)在F中有次数d大于1的首一的不 3 5øÅå˙œf(f(x), f0 (x))å^Œ=Éÿ{,œd, ıë™(f(x), f0 (x))=Üf(x) XÍk',(f(x), f0 (x))XͲ·uF,½ˆ`—·uf(x)Xͧ3ç. l ıë™(f(x), f0 (x)) øÿù6f(x)ä¥3F=á*ç•.œd, f(x) ∈ F[x]kíä¥f(x)S%5ü.  2.3 ”Úˇ½n è y²©ççò5,·ÇÑIáä O. σ : F −→ F 0¥ç”, f(x) = a0 + a1x + · · · + anx n ∈ F[x]. - f σ (x) := σ(a0) + σ(a1)x + · · · + σ(an)x n ∈ F 0 [x]. Kσp—ıë™ÇÉm”F[x] −→ F 0 [x] : f(x) 7→ f σ (x). 5øf(x)¥F[x]•ÿ åıë™Ö=f σ (x)¥F 0 [x]•ÿåıë™.|^⁄n2.4ÿJyf(x) ¥F[x]• å©ıë™Ö=f σ (x)¥F 0 [x]•å©ıë™(SK). ⁄n2.5 σ : F −→ F 0¥ç”, K/F, K0/F0˛èç*‹, f(x)¥F[x]•ÿåı ë™, u¥f(x)3K•òáä. (i) eu 0¥f σ (x)ä, Kσåçò/Úˇ§ç”σ 0 : F(u) −→ F 0 (u 0 ) ¶σ 0 (u) = u 0 . (ii) σå±Úˇ§çi\σ 0 : F(u) −→ K0 Ö=f σ (x)3K0•kä¶σ˘´Úˇ áÍuf σ (x)3K0•p…äáÍ. y (i) f(x)⁄f σ (x)©O¥u3F˛,⁄u 03F 0˛,4ıë™. kç”π : F(u) −→ F[x]/hf(x)i, ⁄π 0 : F 0 [x]/hf σ (x)i −→ F 0 (u 0 ). σåÚˇ§Ç”σ : F[x] −→ F 0 [x]¶σ(f(x)) = f σ (x),œdσp—ç”σ¯ : F[x]/hf(x)i −→ F 0 [x]/hf σ (x)i. u ¥σ 0 := π 0σπ¯ : F(u) −→ F 0 (u 0 )=觶çòÚˇ. (ii) ef σ (x)3K0•käu 0 ,Kd(i)·ÇσòáÚˇ σ 0 : F(u) −→ F 0 (u 0 ) ,→ K0 , øÖσ¥çi\.±˘´ê™·ÇƲná˘Úˇ,Ÿ•n¥f σ (x)3K0•p…ä áÍ.áÉ, çi\σ 0 : F(u) −→ K0¥σÚˇ. Ku 0 = σ 0 (u)¥f σ (x)3K0•ä.œF(u) = F[u],σ 0îTèF 0 [u 0 ] = F 0 (u 0 ).œd,˘áσ 0Ʋ3˛„náÚˇÉ .˘“y² σ ˘´ÚˇáÍuf σ (x)3K0•p…äáÍ.  ½n2.6 (”Úˇ½n) σ : F −→ F 0¥ç”, f(x)¥F[x]•gÍıë™, E⁄E0©O¥f(x)3F˛⁄f σ (x)3F 0˛©ç. KσåÚˇ§ç”E −→ E0 ;˘´Úˇ áÍm˜v1 ≤ m ≤ [E : F]. Ö,ef(x)¥F˛å©ıë™,Km = [E : F]. y È[E : F]^ÍÆ8B{.e[E : F] = 1,KE = F, E0 = F 0 .l (ÿg,§·. [E : F] < nû(ÿ§·.y[E : F] = n ≥ 2.œdf(x)3F[x]•kgÍdåu1ƒòÿ