推论2.3域F上的正次数多项式f()在F上的分裂域是存在的 证对任意域上多项式的次数用数学归纳法.域上的一次多项式在该域上的分裂域当 然是存在的.设任意域上的-1(>)次多项式在该域上的分裂域是存在的.设)是 域F上次数为n的多项式，)€F是f)的不可约因子。由上述引理知存在F的单扩 域K=F(u)使得u是g(z)的一个根因此在K中有分解fr)=(红一)h().因degh(〾) n-1,由归纳假设知h(x)在域K上的分裂域是存在的.设K(u1,·,n-1)是h(c)在K上的 分裂域.根据定义F(u,山1，·，un-)就是fc)在F上的分裂域. ■ 22可分多项式 为了研究域F上的正次数多项式)在F上的分裂域的唯一性，我们先讨论可分多项 域F上的正次数多项式f(z)称为F上的可分多项式，或称f(x)在F上可分(separable,如 果f工)在F工]中的每个不可约因子均无重根（这句话暂时是指在f)的某一分裂域中无重 根在下面引理2.4中我们会看到：一个多项式有无重根是这个多项式的内蕴性质，并不依赖 在哪个扩域中).否则，称f)在F上不可分 例如，（+1）2是Q上的可分多项式 对于域F上的多项式f()=a+a1x+…+an-1x-1+anx,用'()表示它的形式导 -1,根据定义容易验证域F上的多 与实镜上多现代的话敏数有类的基本性购有装布尼无 (f(x)g(z)Y'=f'(z)g(z)+f(x)g'(x). 从而，如果f)在其分裂域中有分解(-a)…(-an,c∈,则 f(a)=cr-a2…(r-an）+c(r-a(a-a3）…(r-an)+…+cr-a)…(r-an-i） 下面这条性质是高等代数中熟知的事实. 引理2.4设f(x)是域F上的正次数多项式则fa)有重根当且仅当最大公因子(f(,'(》≠ 1,其中”(x)是f(x)的形式导数. 特别地，J(x)∈F回]有重根或无重根，是f(e)的内蕴性质：并不依赖在F的哪个扩域中谈 论这件事 证若f(x)有重根a.则在F的某一扩域中有分解fx)=(红-a)子g().令h(r)是a在F上的 极小多项式因f'(@)=0,'(a)∈F可，故h(c)1f'(,从而h()1(,f(e,((,f(e》才 1 反之，若fg)无重根，则f)=c-a小…（-an)a,…,an两两不同.于是对于任 一4，f'a)=C1g凸，a-a)≠0.这就可推出a,.f》=L2 Ìÿ2.3 çF˛gÍıë™f(x)3F˛©ç¥3. y È?øç˛ıë™gÍ^ÍÆ8B{. ç˛ògıë™3T粩ç ,¥3. ?øç˛n − 1 (n > 1) gıë™3T粩ç¥3. f(x)¥ çF˛gÍènıë™, g(x) ∈ F[x]¥f(x)ÿåœf. d˛„⁄n3F¸* çK = F(u)¶u¥g(x)òáä.œd3K[x]•k©)f(x) = (x − u)h(x).œdeg h(x) = n − 1, d8Bbh(x)3çK˛©ç¥3. K(u1, · · · , un−1)¥h(x)3K˛ ©ç. 䂽¬F(u, u1, · · · , un−1)“¥f(x)3F˛©ç.  2.2 å©ıë™ è ÔƒçF˛gÍıë™f(x)3F˛©ççò5,·Çk?ÿå©ıë ™. çF˛gÍıë™f(x)°èF˛å©ıë™,½°f(x)3F˛å©(separable),X Jf(x)3F[x]•záÿåœf˛Ã­ä(˘È{6û¥ç3f(x),ò©ç•Ã­ ä.3e°⁄n2.4•·Ç¨w:òáıë™kÃ­ä¥˘áıë™S%5ü, øÿù6 3=á*ç•). ƒK,°f(x)3F˛ÿå©. ~X, (x + 1)2¥Q˛å©ıë™. ÈuçF˛ıë™f(x) = a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 + anx n,^f 0 (x)L´ß/™ Í,=f 0 (x) = a1 + 2a2x + · · · + (n − 1)an−1x n−2 + nanx n−1 . 䂽¬N¥yçF˛ı ë™/™ÍÜ¢Íç˛ı뙺Íkaqƒ5ü.~Xk4ŸZ]{K (f(x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f(x)g 0 (x). l ,XJf(x)3Ÿ©ç•k©)c(x − a1)· · ·(x − an), c ∈ F, K f 0 (x) = c(x − a2)· · ·(x − an) + c(x − a1)(x − a3)· · ·(x − an) + · · · + c(x − a1)· · ·(x − an−1). e°˘^5ü¥pìÍ•ŸØ¢. ⁄n2.4 f(x)¥çF˛gÍıë™.Kf(x)k­äÖ=Åå˙œf(f(x), f0 (x)) 6= 1,Ÿ•f 0 (x)¥f(x)/™Í. AO/,f(x) ∈ F[x]k­ä½Ã­ä,¥f(x)S%5ü:øÿù63F=á*ç•! ÿ˘áØ. y ef(x)k­äa.K3F,ò*ç•k©)f(x) = (x−a) 2 g(x). -h(x)¥a3F˛ 4ıë™.œf 0 (a) = 0, f0 (x) ∈ F[x], h(x) | f 0 (x),l h(x) | (f(x), f0 (x)), (f(x), f0 (x)) 6= 1. áÉ, ef(x)íä,Kf(x) = c(x − a1)· · ·(x − an), a1, · · · , an¸¸ÿ”. u¥Èu? òaj , f 0 (aj ) = c Q 1≤i≤n,i6=j (aj − ai) 6= 0.˘“åÌ—(f(x), f0 (x)) = 1.