同构延拓定理 上海交通大学数学科学学院章璞 同构延拓定理是极其有用一条定理如果从其重要性和应用的频率上讲，我们愿意将 其列为基础域论中的首要定理。 2.1分裂域的存在性上节中我们看到，单代数扩域F(四)的结构是由其生成元u在F上的 极小多项式 一确定的.因此，研究域F上多项式的根，对于研究F的扩域有重要的意义于 是，首要的问题是：包含F和f()∈F的所有根的“最小”的域，是否存在以及是否唯一· 定义2.1设f()是域F上的n(m≥1)次多项式F的扩域E称为f口)在F上的分裂 域(spliting field,如果 (国f口)在E口中完全分裂，即在E口中f工)分解成一次因子的乘积 f)=c(r-a1)…(c-an,其中a1,…,am∈E,ceF ()E=F(a,…,an).换言之，E是包含fe)的所有根的F的最小的扩域 例如，x-2在Q上的分裂域是 aa-+.-》-a 因在Q(2上的极小多项式为x2+3,2在Q上的极小多项式为r3-2,故 [Q(2,V3):Q=Q(2(v3):Q(2IQ(2):=23=6 由分裂域的定义，要说明fr)∈F在F上的分裂域的存在性，只要说明存在F的扩 域K,使得K包含f)的所有的根即可：因为将这些根添加到F上所得到的域就是(x)在F上 的分裂城下述引理本质上给出了f回)F在F上的分裂城的存在性。 引理2.2设f)是F中的不可约多项式则存在F的唯一的（在F-同构意义下）单扩 域F(u),使得u是fa)的根. 证令K:=F回/Uc》.因f(e)是F中的不可约多项式，故(Ur》是K的极大理想，从 而K是域：并且K是F的单扩域：事实上，K=F(m),其中u=x+(fc》∈K.显然，u是f(x)的 根. 若还有单扩域F()使得u也是fx)的根，则f()是v在F上的极小多项式（不妨设f）首 ).从而由推论1.6（问）知有域同构F(o)兰F(,将送到u且保持F中的元不动 1 ”Úˇ½n ˛°œåÆÍÆâÆÆ Ÿ‚ ”Úˇ½n¥4Ÿk^ò^½n.XJlŸ­á5⁄A^™«˛˘ß·ÇøÚ Ÿèƒ:çÿ•ƒá½n. 2.1 ©ç35 ˛!•·Çw,¸ìÍ*çF(u)(¥dŸ)§u3F˛ 4ıë™çò(½. œd,ÔƒçF˛ıë™ä,ÈuÔƒF*çk­áø¬.u ¥,ƒáØK¥: ù¹F⁄f(x) ∈ F[x]§kä“Å”ç,¥ƒ3±9¥ƒçò. ½¬2.1 f(x)¥çF˛n (n ≥ 1) gıë™.F*çE°èf(x)3F˛© ç(spliting field),XJ (i) f(x) 3E[x] •©, =3E[x]•f(x)©)§ògœf¶» f(x) = c(x − a1)· · ·(x − an), Ÿ• a1, · · · , an ∈ E, c ∈ F; (ii) E = F(a1, · · · , an). ÜÛÉ, E¥ù¹f(x)§käFÅ*ç. ~X,x 3 − 23Q˛©ç¥ Q( √3 2, √3 2(− 1 2 + √ 3 2 i), √3 2(− 1 2 − √ 3 2 i)) = Q( √3 2, √ 3i). œ √ 3i3Q( √3 2)˛4ıë™èx 2 + 3, √3 23Q˛4ıë™èx 3 − 2, [Q( √3 2, √ 3i) : Q] = [Q( √3 2)(√ 3i) : Q( √3 2)][Q( √3 2) : Q] = 2 · 3 = 6. d©ç½¬,á`²f(x) ∈ F[x]3F˛©ç35,êá`²3F* çK,¶Kù¹f(x)§kä=å:œèÚ˘ äV\F˛§ç“¥f(x)3F˛ ©ç.e„⁄nü˛â— f(x) ∈ F[x]3F˛©ç35. ⁄n2.2 f(x)¥F[x]•ÿåıë™.K3Fçò(3F-”ø¬e)¸* çF(u), ¶u¥f(x)ä. y -K := F[x]/hf(x)i.œf(x)¥F[x]•ÿåıë™,hf(x)i¥K4åné,l K¥ç¶øÖK¥F¸*ç:Ø¢˛, K = F(u),Ÿ•u := x+hf(x)i ∈ K.w,,u¥f(x) ä. eÑk¸*çF(v)¶vè¥f(x)ä,Kf(x)¥v3F˛4ıë™(ÿîf(x)ƒ ò).l dÌÿ1.6(ii)kç”F(v) ∼= F(u), ÚvxuÖ±F•ÿƒ.