BA 00001 10八(100 100 那么A与B互逆 例8求解方程组Ax=b,其中 A=0 100 001 解:由例7知,A1=100 010 0 001 1(1)(0 即方程组的解为x1=0,x2=x3=1 例9设方阵A与B满足A+B=AB,试证A-I可逆。 证:由A+B=AB,有AB-A=B,即A(B-D)=B A(B-D)-I=B-I E A(B-D)-(B-D)=I 于是(A-D)(B-D)=则A-I可逆,且(A-D)=B- 例10证明当a-be≠0时,A=(a自可逆,并且A d-b ad-bc 那么,BA 0 ad-bc 同理AB=I,因此A可逆,并且A d -b ad-bcc a 应用:(1)n阶线性方程组求解Ax=b,若A可逆,则x=Ab (2)求线性变换的逆变换y=Ax,若A可逆,x=A"y (3)矩阵方程求解设An可逆,Bnn可逆,且Cmn已知,则 AX=C→X=A-C XB=C→X=CB- AXB=C→X=A-CB        =                 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 BA 那么 A 与 B 互逆 例 8 求解方程组 Ax = b ，其中 解：由例 7 知，         = − 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 A 于是         =                 = = − 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 x A b 即方程组的解为 x1 = 0, x2 = x3 = 1 例 9 设方阵 A 与 B 满足 A+ B = AB ，试证 A − I 可逆。 证：由 A+ B = AB ，有 AB − A= B ，即 A(B − I) = B A(B − I) − I = B − I 或 A(B − I) − (B − I) = I 于是 (A− I)(B − I) = I 则 A − I 可逆，且 A− I = B − I −1 ( ) 例 10 证明当 ad − bc  0 时，       = c d a b A 可逆，并且       − − − = − c a d b ad bc A 1 1 证： 因 ad − bc  0 ，令       − − − = c a d b ad bc B 1 那么， I a d bc a d bc a d bc c d a b c a d b a d bc BA  =      − − −  =            − − − = 0 1 1 0 同理 AB = I ，因此 A 可逆，并且       − − − = − c a d b ad bc A 1 1 应用： (1) n 阶线性方程组求解 A nn x = b ， 若 A 可逆，则 x A b −1 = (2) 求线性变换的逆变换 y = A nn x ， 若 A 可逆， x A y −1 = (3) 矩阵方程求解 设 A nn 可逆, B nn 可逆, 且 C mn 已知, 则 AX = C X A C −1  = XB = C −1  X = CB AXB = C −1 −1  X = A CB         =           =         = 0 1 1 , , 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 2 1 b x x x A x