1.2概率空间 -6- 因为是研究"分别出现2和出现3"，因此我们把2和3需要单独分离开来研究，而不能 放在一起作为一个整体。为了让F成为σ代数我们还包含了其他的事件。在σ代数万 中，{2}是万1的可测集，但不是例子1.4中F的可测集。 上面例子告诉我们，可测集依赖于我们定义的σ代数！ 例1.6一些-代数的例子。 。最小的o-代数：平凡(trivial)o-代数{0,2. 。最大的o-代数：全体子集22：={A:AC2}. 。分割形成的o-代数：令A1,A2,·,An为2的不相交的子集，并有U=1An=2 则由A1,A2,·,An进行有限并、补运算产生一个σ-代数，其中包含2n个集合。 。F={A,A9,0,2} 定义1.4.-代数的生成 对于2的一个子集族S,如果存在2上的0-代数F使得 。SCF 。对于任意包含S的2上的σ-代数F,都有FCF', 则称下是由子集系S生成的（最小的）σ-代数，记作F:=σ(S) 命题1.1 下面命题成立： (1)对①的任何子集系S,都存在F:=σ(S): (2)如果S本身是2上的一个o-代数，则σ(S)=S. 例1.7 。2={w1,w2,…,w4},S={1},{2,w3}。则：由S生成的-代数为 a(S)={0,2,{w1},{w2,w3,w4}, {w,w2,w3},{w4} {w2,w3},{w1,w4} 。如果S={w1},{w2}。则：由S生成的o-代数为： σ(S)= {0,2,{w1},{w2,w3,w4}, {w1,w2},{w3,w4} {w2},{w1,w3,w4} 定义1.5.集合上下极限 如果{A,n=1,2,·,o}为集合序列。我们定义 lim sup An (1.3) n→+cd 照4-0(04) 从上面定义可以看到如果定义Bn=UnAk,则Bn为一递减集合序列。因此，1.2 概率空间 – 6 – 因为是研究" 分别出现 2 和出现 3"，因此我们把 2 和 3 需要单独分离开来研究，而不能 放在一起作为一个整体。为了让 F 成为 σ 代数我们还包含了其他的事件。在 σ 代数 F1 中，{2} 是 F1 的可测集，但不是例子1.4中 F 的可测集。 上面例子告诉我们，可测集依赖于我们定义的 σ 代数！！ 例 1.6 一些 σ-代数的例子。 最小的 σ-代数：平凡（trivial）σ-代数 {∅, Ω}. 最大的 σ-代数：全体子集 2 Ω := {A : A ⊂ Ω}. 分割形成的 σ-代数：令 A1, A2, · · · , An 为 Ω 的不相交的子集，并有 ∪n i=1 An = Ω. 则由 A1, A2, · · · , An 进行有限并、补运算产生一个 σ-代数，其中包含 2 n 个集合。 F = {A, Ac , ∅, Ω}. 定义 1.4. σ-代数的生成 ♣ 对于 Ω 的一个子集族 S, 如果存在 Ω 上的 σ-代数 F 使得 S ⊂ F; 对于任意包含 S 的 Ω 上的 σ-代数 F ′ , 都有 F ⊂ F′ , 则称 F 是由子集系 S 生成的（最小的）σ-代数，记作 F := σ(S). 命题 1.1 ♠ 下面命题成立： (1) 对 Ω 的任何子集系 S, 都存在 F := σ(S). (2) 如果 S 本身是 Ω 上的一个 σ-代数，则 σ(S) = S. 例 1.7 Ω = {ω1, ω2, · · · , ω4}, S = {{ω1}, {ω2, ω3}}。则：由 S 生成的 σ-代数为： σ(S) = {∅, Ω, {ω1}, {ω2, ω3, ω4}, {ω1, ω2, ω3}, {ω4}, {ω2, ω3}, {ω1, ω4}} 如果 S = {{ω1}, {ω2}}。则：由 S 生成的 σ-代数为： σ(S) = {∅, Ω, {ω1}, {ω2, ω3, ω4}, {ω1, ω2}, {ω3, ω4}, {ω2}, {ω1, ω3, ω4}} 定义 1.5. 集合上下极限 如果 {An, n = 1, 2, · · · , ∞} 为集合序列。我们定义 lim sup n→+∞ An = + ∩∞ n=1 ( ∪∞ k=n Ak ) , lim inf n→+∞ An = + ∪∞ n=1 ( ∩∞ k=n Ak ) . (1.3) 从上面定义可以看到如果定义 Bn = ∪∞ k=n Ak，则 Bn 为一递减集合序列。因此