1.2概率空间 Bn的极限可以定义为无穷的交集，并且 +oo limsup An=lim Bn=∩Bn n→+ n-→+oo n=1 。如果定义Cn=∩nAk,则Cn为一递增集合序列。因此，Cn的极限可以定义 为无穷的并集，并且 十●0 =1 理解13.集合上下极限 类似于数列，数列的极限不一定存在，但是我们可以定义数列的上下极限。同理， 对于集合序列一样，其极限也不一定存在。 例1.8如果集合序列An如下 4,=0,1+ 显然，An是一个递减集合序列。可以得到 limsup An n(心a1+)=ho1+-o. lim inf An n-t0o U(a1+)-U0=a 例1.9如果集合序列An如下 4=0,2+h41=01+h 可以得到 B2n=Ak A2n U A2n+I UA2n+2 U... k=2n =(A2nUA2m+2U…)U(A2n+1UA2n+3U…) =0,2+U0,1+月=0,2+ B2n+1=Ak A2n+1 U A2n+2 U... k=2m+1 =(A2n+1UA2n+3U…U(A2n+2UA2n+4U…） =0,1+hU0,2+n+=o,2+n+ lim sup An ia=()jn(n (a2+)n(m2++)-a1.2 概率空间 – 7 – ♣ Bn 的极限可以定义为无穷的交集，并且 lim sup n→+∞ An = lim n→+∞ Bn = + ∩∞ n=1 Bn 。如果定义 Cn = ∩∞ k=n Ak，则 Cn 为一递增集合序列。因此，Cn 的极限可以定义 为无穷的并集，并且 lim inf n→+∞ An = lim n→+∞ Cn = + ∪∞ n=1 Cn. 理解 1.3. 集合上下极限 ♣ 类似于数列，数列的极限不一定存在，但是我们可以定义数列的上下极限。同理， 对于集合序列一样，其极限也不一定存在。 例 1.8 如果集合序列 An 如下 An = [0, 1 + 1 n ]. 显然，An 是一个递减集合序列。可以得到 lim sup n→+∞ An = + ∩∞ n=1 ( ∪∞ k=n [0, 1 + 1 k ] ) = + ∩∞ n=1 [0, 1 + 1 n ] = [0, 1], lim inf n→+∞ An = + ∪∞ n=1 ( ∩∞ k=n [0, 1 + 1 k ] ) = + ∪∞ n=1 [0, 1] = [0, 1]. 例 1.9 如果集合序列 An 如下 A2n = [0, 2 + 1 n ], A2n+1 = [0, 1 + 1 n ]. 可以得到 B2n = ∪∞ k=2n Ak = A2n ∪ A2n+1 ∪ A2n+2 ∪ · · · = (A2n ∪ A2n+2 ∪ · · ·) ∪ (A2n+1 ∪ A2n+3 ∪ · · ·) = [0, 2 + 1 n ] ∪ [0, 1 + 1 n ] = [0, 2 + 1 n ]. B2n+1 = ∪∞ k=2n+1 Ak = A2n+1 ∪ A2n+2 ∪ · · · = (A2n+1 ∪ A2n+3 ∪ · · ·) ∪ (A2n+2 ∪ A2n+4 ∪ · · ·) = [0, 1 + 1 n ] ∪ [0, 2 + 1 n + 1 ] = [0, 2 + 1 n + 1 ], lim sup n→+∞ An = + ∩∞ n=1 Bn = (+ ∩∞ n=1 B2n )∩ (+ ∩∞ n=0 B2n+1) = (+ ∩∞ n=1 [0, 2 + 1 n ] )∩ (+ ∩∞ n=0 [0, 2 + 1 n + 1 ] ) = [0, 2]