1.2概率空间 -8 同理可以得到 lim inf An =[0,1]lim sup An =[0,2]. n→+o 1.2.2概率空间 有了可测空间(2，F)我们能够定义可测集，也就是我们可以认识的事件。但现在还 没有一把度量的直尺去刻画事件的大小。下面我们就引入这个度量工具：概率。 定义1.6.概率空间 (2,F)为一个可测空间。P为一个函数P:下→[0,1刂。其定义域为σ代数下，值 域为[0,1。如果函数P满足： 1.P(2)=1: 2.对任意的A∈F,有0≤P(A)≤1： 3.如果A1,A2,…,A0为任意不相交的集合序列，则有 PUA)=∑PA) (1.4) =1 n=1 我们把三元组(2，下，P)称为概率空间。 9 理解1.4.概率 概率定义了如何刻画0代数F中事件发生的大小。我们只能度量可以认识事件的 概率大小，也即是σ代数下中的可测集！ 例1.10假设2={1，w2,w3},F={0,2,{w,w2},{w3}.定义 P({w1,w2})=0.5,P({3})=0.5. 因此，上面的概率P刻画事件{w1,w2}和{w3}发生的概率。但是，我们并不知道事件 {w}发生的概率大小。因为，{}关于F不可测，也不在概率P的定义域内。 定义1.7.零测集 如果一个事件发生的概率为0，我们称其为零测集。 在随机过程的研究中，零测集通常没有什么作用，对于研究的问题也没有什么影响。 但是一个零测集并不代表是空集，依赖于概率的定义。所以我们通常采用下面完备化的 技巧是的这个概率空间性质更好一些。 定义1.8.完备的概率测度 令W代表2的所有P零测集的子集的全体，由{F,W门生成的σ代数（即包含F 和N的最小σ代数)称为下的完备化，记为F F中的每个集合B都可以表为B=AUN,其中A∈F,N∈N,且A∩N=0。 定义 P(B)=P(AUN)=P(A)1.2 概率空间 – 8 – 同理可以得到 lim inf n→+∞ An = [0, 1] ̸= lim sup n→+∞ An = [0, 2]. 1.2.2 概率空间 有了可测空间 (Ω, F) 我们能够定义可测集，也就是我们可以认识的事件。但现在还 没有一把度量的直尺去刻画事件的大小。下面我们就引入这个度量工具：概率。 定义 1.6. 概率空间 ♣ (Ω, F) 为一个可测空间。P 为一个函数 P : F → [0, 1]。其定义域为 σ 代数 F，值 域为 [0, 1]。如果函数 P 满足： 1. P(Ω) = 1; 2. 对任意的 ∀A ∈ F, 有 0 ≤ P(A) ≤ 1; 3. 如果 A1, A2, · · · , A∞ 为任意不相交的集合序列，则有 P( ∪∞ n=1 An) = ∑∞ n=1 P(An). (1.4) 我们把三元组 (Ω, F, P) 称为概率空间。 理解 1.4. 概率 ♣ 概率定义了如何刻画 σ 代数 F 中事件发生的大小。我们只能度量可以认识事件的 概率大小，也即是 σ 代数 F 中的可测集！ 例 1.10 假设 Ω = {ω1, ω2, ω3}, F = {∅, Ω, {ω1, ω2}, {ω3}}. 定义 P({ω1, ω2}) = 0.5, P({ω3}) = 0.5. 因此，上面的概率 P 刻画事件 {ω1, ω2} 和 {ω3} 发生的概率。但是，我们并不知道事件 {ω1} 发生的概率大小。因为，{ω1} 关于 F 不可测，也不在概率 P 的定义域内。 定义 1.7. 零测集 ♣ 如果一个事件发生的概率为 0，我们称其为零测集。 在随机过程的研究中，零测集通常没有什么作用，对于研究的问题也没有什么影响。 但是一个零测集并不代表是空集，依赖于概率的定义。所以我们通常采用下面完备化的 技巧是的这个概率空间性质更好一些。 定义 1.8. 完备的概率测度 令 N 代表 Ω 的所有 P 零测集的子集的全体，由 {F, N } 生成的 σ 代数 (即包含 F 和 N 的最小 σ 代数) 称为 F 的完备化，记为 Fb. Fb 中的每个集合 B 都可以表为 B = A ∪ N，其中 A ∈ F, N ∈ N , 且 A ∩ N = ∅。 定义 Pb(B) = Pb(A ∪ N) = P(A)