即密度函数为f(1) ,t≥0 (0,1<0’服从参数为n,2的分布,即密度函数为 t≥0 t<0 证明:由于事件{1>{(t)=0},故P(x1>1)=P(N()=0)=e-,r服从参 数为为指数分布。而 P(c2>r1=s)=P(ss+中事件不发生 P(N(s+)-N(S)=0)=P(N()=0)= 故z2与τ1独立且z2服从参数为λ指数分布。类似对τn证明。由于事件 un≤{N()≥n,故P(mn≤)=P(N()≥川)=∑ (r) 刀’两边求导,立得 n的密度函数为f(r) ≥0 0 0 定理5.3.3:给定N(I)=n,到达时间w1,w2…n的联合分布密度为 rt"0<m1<…<n≤t (t)=n 0 otherwise 证明:设0≤<1<1+h1<12<l2+h2<…<Ln<Ln+h≤t,则 P1≤1≤t+h,2 h, N(=n P(1≤w1≤1+h1,t2≤W2≤l2+h2…tn≤Wn≤tn+hn,N()=n) P(N()=n) N(1)=0,N(1+h1)-N(1)=1,N(t2)-N(1+h)=0.,N(12+h2)-N(t2)=1 N(tn)-N(tn1+hn-1)=0.,N(tn+hn)-N(tn)=1,N(1)-N(tn+hn)=0 e-He-2he-(2-1-he-hn.e-4(n-m-1-hg-pe-W he-4(1-1m-he (r) =nlt hh 因此,w1,w2…Wn的联合密度为即密度函数为 ； 服从参数为 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0, 0 , 0 ( ) t e t f t t n λ τ λ wn n,λ 的Γ 分布，即密度函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = − − − 0, 0 , 0 ( 1)! ( ) ( ) 1 t t n t e f t n t wn λ λ λ 。 证明：由于事件{ } { ( ) 0 τ 1 > t ⇔ N t = }，故 ( ) ( ) t P t P N t) = e λ τ − 1 > = ( 0 = ， 1 τ 服从参 数为λ 为指数分布。而 ( ) ( ) ( ) ( t P N s t N s P N t e P t s P s s t s λ τ τ τ − = + − = = = = > = = + = ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( , ] 2 1 中事件不发生 1 ) 故 2 τ 与 1 τ 独立且 2 τ 服从参数为 λ 指数分布。类似对 n τ 证明。由于事件 { } wn ≤ t ⇔ {N(t) ≥ n}，故 ( ) ( ) ∑ ∞ = − ≤ = ≥ = j n j t n j t P w t P N t n e ! ( ) ( ) λ λ ，两边求导，立得 wn 的密度函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = − − − 0, 0 , 0 ( 1)! ( ) ( ) 1 t t n t e f t n t wn λ λ λ 。 定理 5.3.3：给定 N(t) = n ，到达时间 w1 ,w2 ,Lwn 的联合分布密度为 ⎩ ⎨ ⎧ < < < ≤ = − = otherwise n t w w t f w w n n w w N t n n n 0, ! ,0 ( , ) 1 , ( ) 1 1 L L L 证明：设 t t h t t h t t h t 0 ≤< 1 < 1 + 1 < 2 < 2 + 2 < L < n < n + n ≤ ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n t t t h n t h t t h h t t h h n n n n n n n n n n n n n n n n n t h h h n t e e e h e e e e h e P N t n N t N t h N t h N t N t N t h N t N t h N t N t N t h N t h N t P P N t n P t w t h t w t h t w t h N t n P t w t h t w t h t w t h N t n n n n n n n L L L L L 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ! ! ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 1, ( ) ( ) 0 ( ) 0, ( ) ( ) 1, ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 1 ( ) , , , ( ) , , ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = + − = − + = = + − = − + = + − = = = ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ ≤ + = = ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ ≤ + = − − λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 因此，w1 ,w2 ,Lwn 的联合密度为 8